路径压缩和按等级联合如何相互补充？答案

【问题标题】：How do path compression and union by rank complement each other?路径压缩和按等级联合如何相互补充？
【发布时间】：2017-01-16 23:43:42
【问题描述】：

我一直在阅读有关联合查找问题的信息。两个主要改进是路径压缩和按等级联合。据我了解，按等级联合用于确定如何组合不相交的树。如果我们有两棵不相交的树 T1 和 T2，那么我们将具有较小等级的树的根附加到具有较高等级的树上。如果我们不使用路径压缩，那么排名只是树的深度。这是有道理的，因为我们不想增加 out tree 的深度，因为它直接影响 find 和 union。

我的问题是当我们也使用路径压缩时。我一直在读到这两种优化相辅相成，但我没有看到。由于路径压缩，排名不再是树的深度（它成为深度的上限）。假设 T1 有 2 个分支（设 T1 的 rank 为 3），T2 的深度为 2，rank 为 2。现在假设我们在下面标有“*”的 T1 的叶子上执行查找操作（带有路径压缩）。现在，如果我们联合 T1 的根和 T2 的根，那么 T2 将附加到 T1 的根（因为查找不会更新排名）。结果树的深度为 3。但如果我们将 T1 附加到 T2，我们可能会有更好的性能。

T1:   o   (Rank = 3)    T2:   o  (Rank = 2)
     / \                      |
    o   o                     o
    |                         |
    o                         o
    |   
    *

在 T1("*") 的叶子上找到后，然后在 T1 和 T2 的根上并集，我们得到

T1:    o       (Rank = 3)      T2: o  (Rank = 2)       
     /| |\                         |
    * o o o                        o
                                   |
                                   o
Result of T1 union T2
       o
   / | | |\
  * o o o  o   Rank = 3 and Max Depth = 3
           |
           o
           |
           o

我在这里错过了什么吗？路径压缩和按等级联合如何相互补充？我知道等级只是树深度的上限，但我看不出按等级联合如何提高结构的整体性能。这比随机组合根的 union 更好吗？

提前感谢您的帮助。

【问题讨论】：

您为什么说“如果我们将 T1 连接到 T2，我们可以有更好的性能”？如果联合之后是在每个节点上进行查找，那么这将导致更多的工作。
我对更好性能的理解是，如果树更深，则查找和联合需要更多时间来定位其最高代表（根） - 由于路径压缩，后续查找和联合操作会更快。但这只是路径压缩的工作。我只是无法理解按等级联合是如何提高性能的，因为等级并不能准确地捕捉树的深度。我想我的问题可能会更好 - 如果我只是通过路径压缩来实现它，我会失去什么？为什么？

标签： algorithm tree disjoint-sets union-find

【解决方案1】：

按等级联合确保树的最大深度为 log N，因此它为每个操作设置了 O(log N) 的最坏情况上限。

没有任何特殊联合的路径压缩规则每个操作的摊销成本上限为 O(log N)，但不限制最坏情况成本 . （甚至可能对摊销成本有更严格的限制，但 O(log N) 是我知道如何证明的）

将两者结合使用，您可以得到最坏情况下的 O(log N) 限制并且摊销界限改进为 O(?(N))，这实际上是恒定的。这样，两种优化是互补的。

您是对的，有些操作序列按等级联合并不是绝对最优的，但保证比没有它时得到的要好，这才是最重要的。我们通常不会花精力优化最佳案例性能。我们优化最差或平均的情况。

【讨论】：

哦，这很有道理。非常感谢。 :)

【解决方案2】：

如果您使用按等级/权重联合，则问题中的图 T2 无法首先形成。

自己试试 3 个节点，看看能不能画出图 T2。这是不可能的。甚至连图T1一开始都无法形成。

您可以从 N 个节点的示例开始，如果您按排名/权重从头开始进行联合，您实际上会看到它会给出一个最佳的合并结构（一些操作序列可能没有给出最好的合并，但大多数时候它给出了最好的结果）。

换句话说，按等级/权重联合有助于查找方法（该方法又使用路径压缩进行进一步优化），这使得查找操作几乎是恒定时间操作。

【讨论】：