TSP / CPP 变体 - 子旅游约束

Question

我正在开发一个优化问题，它是 Traveling Salesman 的变体。在这种情况下，您不必访问所有城市，有一个必需的起点和终点，旅行长度有一个最小和最大界限，如果需要，您可以多次遍历每个弧，并且您有一个非线性与遍历的弧相关的目标函数（以及遍历每个弧的次数）。决策变量是整数，你遍历每条弧的次数。

我在 Pyomo 中开发了一个非线性整数程序，并且正在从 NEOS 服务器获取结果。但是我没有加入 subtour 约束，我的结果是两个断开连接的 subtour。

我可以找到 TSP 的整数规划公式，其中说明了如何制定 subtour 约束，但这与标准 TSP 有点不同，我正试图弄清楚如何开始。任何可以提供的帮助将不胜感激。

编辑：问题表述

50 arcs ，不是节点之间的穷举对。 50 决策变量 N_ab 是整数 >=0，对应于你从 a 遍历到 b 的次数。每个 N_ab 都有一个长度和利润。所有 ab 的 length_ab * N_ab 之和在最小和最大距离之间有两个约束。我有一个约束，即每个节点的 N_ab 总和等于节点外的 N_ab 总和，您可以根本不访问节点，也可以多次访问它。目标函数是非线性的，并且与弧对之间的相互作用有关（与 subtour 无关）。

Subtours：查看 math.uwaterloo.ca/tsp/methods/opt/subtour.htm ，该公式不适用，因为我不需要访问所有城市，并且可能无法访问。例如，假设我有 20 个节点和 50 条弧（所有弧长均为 10）。距离限制适用于长度为 30 的游览，这意味着我最多可以访问三个节点（从 A -> B -> C ->A = 长度 30 开始）。所以我根本不会访问其他节点。 TSP 子巡回消除将要求我有从节点子组 ABC 到未访问节点子组的边 - 这不是我的问题所需要的

Answer 1

这是一种改编自奖品收集 TSP 的方法（例如，this paper）。设V 为所有节点的集合。我假设V 包含一个 depot 节点，称为节点 1，它必须在巡演中。 （如果没有，您可能可以添加一个充当此角色的虚拟节点。）

让x[i] 是一个决策变量，如果我们访问节点i 至少一次，则等于1，否则为0。 （您的模型中可能已经有这样的决策变量。） 添加这些约束，定义x[i]：

x[i] <= sum {j in V} N[i,j]    for all i in V
M * x[i] >= N[i,j]             for all i, j in V

换句话说：如果没有从节点i 出来的边，x[i] 不能等于 1，如果有任何边从节点 i 出来，x[i] 必须等于 1。 （这里，如果我们从i 到j，N[i,j] 为 1，M 是一个足够大的数字，可能等于您可以遍历一条边的最大次数。）

这里是 subtour-elimination 约束，为 V 的所有子集 S 定义，这样 S 包括节点 1，并为 V \ S 中的所有节点 i 定义：

sum {j in S} (N[i,j] + N[j,i]) >= 2 * x[i]

换句话说，如果我们访问不在S 中的节点i，那么必须至少有两条边进入或离开S。 （如果S 等于包含 1 的子巡回上的节点，子巡回将违反此约束。）

我们还需要一个约束，要求节点 1 在巡演中：

x[1] = 1

我可能在方向索引上玩得有点快和松散，也就是说，我不确定你的模型是否设置了N[i,j] = N[j,i] 或类似的东西，但希望这个想法足够清晰，你可以修改我的方法为必要的。