使用 K 个反向边的图中的所有最短路径

Question

假设我有一个有向图 G(V,E) 在其边缘处具有正整数权重。我需要做的是使用最多 K(integer) 反向边缘找到所有顶点之间的最短路径。我的意思是也就是说：如果我们在边 u 并且只有一条从 v 到 u 的有向边，只要我们没有为此路径使用 K 个反向边，我们就可以使用它。这必须在 C++ 中实现并给出最短的结果是路径。

我考虑过运行 dijkstra V 次（类似于 Johnson 算法），但我不确定如何利用反向边缘属性。有什么想法吗？

Answer 1

解决此类问题的常用方法通常被描述为“分层”。您（从概念上）制作图的 K+1 个副本，G₀ 到 G_K，然后在G_{中连接一个顶点ui >i} 到 G 中的一个顶点 v_i+1i+1 如果在 G 中存在从 v 到 u 的边。

从G₀中的s₀到t_{Gi 中的 >i} 则表示来自 s 的路径到 G 中的 t 使用 i 反向边缘，其中 i 最多为 K.

您可以在这个新的分层图上使用 Dijkstra 算法。

当你习惯了这一点时，你可以用一种更简单的方式来思考它：你只需使用 Dijkstra 的算法，而不是像 [reached v 这样的队列中的状态，成本 c]，你使用像[达到v，成本c，使用i反向边]这样的状态。通常，当我们在现实生活中使用 Dijkstra 时，并没有给出实际的图表，因此将其视为对状态及其转换的搜索会有所帮助。