在具有负权重的无向图中应用 Dijkstra 算法答案

【问题标题】：Apply Dijkstra's algorithm in a undirected graph with negative weights在具有负权重的无向图中应用 Dijkstra 算法
【发布时间】：2013-09-04 12:08:18
【问题描述】：

任何人都可以在上述负权重的无向图中应用 Dijkstra 算法吗？即使算法失败。

邻接列表：

A -> (B, 3), (C, 2), (D, 4)
B -> (A, 3), (C, -2), (F, 6)
C -> (A, 2), (B, -2), (E, 5)
D -> (A, 4), (E, 3), (F, 2)
E -> (C, 5), (D, 3), (F, -2)
F -> (B, 6), (D, 2), (E, -2)

【问题讨论】：

Negative weights using Dijkstra's Algorithm 的可能重复项
首先，您应该选择一个源顶点来运行Dijkstra的算法；其次，您无需编码也可以进行测试，只需尝试一下。
图是全连接的，所以任意两点之间的最小代价总是包含无限次的 B->C->B（或 E->F->E）的遍历，使得任意两个节点对之间遍历的最小成本 - 无穷大。如果我知道答案是错误的，为什么还要申请 Dijkstra？

标签： algorithm graph dijkstra shortest

【解决方案1】：

以源节点 A 为遍历列表播种，其成本为 0。为每个其他节点添加无限成本：

{}, [A=0, B=inf, C=inf, D=inf, E=inf, F=inf]

然后取当前成本最低的项目（我将其称为 L）并将其“接受”到最终成本集（第一遍案例 L=源节点 (A)，成本为 0）。检查 L 中的每条边，计算遵循该边的总成本。如果该总成本小于遍历列表当前成本，则使用新的较低成本更新遍历列表。

{A=0}, [B=0+3, C=0+2, D=0+4, E=inf, F=inf]

C 现在是遍历列表中成本最低的节点，因此接受成本为 2 的 C：

{A=0, C=2}, [B=2-2=0, D=4, E=2+5=7, F=inf]

此时确实很容易检测到问题，因为我只是在遍历列表中放了一个成本，该成本小于我刚刚接受的节点的成本（C）。但是，我们不受理性或逻辑的阻碍：

{A=0, C=2, B=0}, [D=4, E=7, F=0+6]
{A=0, C=2, B=0, D=4}, [E=7, F=6]
{A=0, C=2, B=0, D=4, E=7}, [F=7-2=5]
{A=0, C=2, B=0, D=4, E=7, F=5}

由于图中的负成本循环，正确的最终成本数组应该是：

{A=-inf, B=-inf, C=-inf, D=-inf, E=-inf, F=-inf}

但我们已经知道，当图表具有负成本循环时，Dijkstra 会失败......对吗？

【讨论】：