如何以编程方式证明“六度分离”概念？答案

【问题标题】：How can I prove the "Six Degrees of Separation" concept programmatically?如何以编程方式证明“六度分离”概念？
【发布时间】：2009-06-12 20:38:05
【问题描述】：

我有一个包含 2000 万用户和这些人之间联系的数据库。如何在编程中以最有效的方式证明“六度分离”的概念？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您只想测量diameter of the graph. 这正是找出图中最远连接节点之间分离的指标。

Google 上有很多算法，Boost graph 也是。

【讨论】：

【解决方案2】：

您可能可以将图形放入内存中（表示每个顶点都知道其邻居列表）。

然后，从每个顶点 n，您可以运行广度优先搜索（使用队列）到深度 6 并计算访问的顶点数。如果不是所有的顶点都被访问过，那么你就证明了这个定理。在其他情况下，继续下一个顶点n。

这是 O(N*(N + #edges)) = N*(N + N*100) = 100N^2，如果用户平均有 100 个连接，这对于 N=2000 万来说并不理想。我想知道上面提到的库是否可以以更好的时间复杂度计算直径（一般算法是 O(N^3)）。

单个顶点的计算是独立的，因此它们可以并行完成。

一点启发式：从度数最低的顶点开始（更好的机会反驳定理）。

【讨论】：

我认为这比 O(n^2) 差很多。即使假设每个节点仅连接到 3 个其他节点，深度为 6 的堆栈跟踪也将是 3 * 2^0 + 3 * 2^1 + 3 * 2^2 + 3* 2^3 + 3* 2^4 + 3*2^5。指数增长
对于每个顶点，您最多访问每个顶点一次，因此运行一个顶点需要 O(N)。
啊，没错，这是一个限制。我认为这仍然是 O(N^3)，不是吗？找到从顶点 A 到顶点 B 的路径是 O(N)，你必须这样做 O(N^2) 次。
嗨，假设您想计算图中一个顶点到每个其他顶点的最短距离。由于边没有权重（路径长度 = 边数），这可以在 O(N+#edges) 中完成：运行广度优先搜索 - en.wikipedia.org/wiki/Breadth-first_search。你是对的，它不是 O(N) 而是 O(N+#edges)，其中 #edges 就像 100*N（如果用户平均有 100 个连接）。谢谢

【解决方案3】：

我认为最有效的方式（最坏的情况）几乎是 N^3。建立一个邻接矩阵，然后取该矩阵 ^2、^3、^4、^5 和 ^6。查找图中从矩阵 0 到矩阵 ^6 的任何条目。

您可以试探性地尝试挑出子图（仅通过相对较少数量的“桥”节点连接到其他集群的大群人），但绝对不能保证您会拥有任何子图。

【讨论】：

您无法在内存中构建大小为 20x20 百万的邻接矩阵。此外，乘法为 O(N^3)，其中 N 为 2000 万。
使用 strassen 算法大约是 n^2.8，因为它们是方阵。您也不需要将整个 matix 保存在内存中，只需将您正在积极乘法的部分保存在内存中。将其余部分分页到磁盘。
确实需要大量磁盘... 400 TB 用于幼稚的方法。不过压缩空间很大。

【解决方案4】：

已经给出了更好的答案，但我想我会使用Floyd-Warshall所有对最短路径算法，即 O(n^3)。我不确定图形直径算法的复杂性，但它“听起来”像这样也是 O(n^3)。如果有人知道，我想澄清一下。

顺便说一句，你真的有这样的数据库吗？吓人。

【讨论】：