我如何知道这些嵌套语句将执行多少次？答案

【问题标题】：How can I tell how many times these nested statements will execute?我如何知道这些嵌套语句将执行多少次？
【发布时间】：2015-06-12 06:10:44
【问题描述】：

我有以下伪代码：

SelectionSort(A)
    n = A.length
    for j=1 to n-1
        smallest = j
        for i=(j+1) to n
            if A[i] < A[smallest]
                smallest = i
        exchange A[j] with A[smallest]

我认为第一个for循环测试会执行n次，嵌套的for循环会执行1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2次（如果我有请纠正我'我错了）。但我不明白如何知道嵌套的 if 语句将执行多少次？是 1/2 * n(n+1)/2 吗？

【问题讨论】：

标签： algorithm sorting big-o time-complexity complexity-theory

【解决方案1】：

外部 for 循环将运行 n 次。但是，它还包含一个内部 for 循环，该循环依赖于 j 的值。

我认为第一个 for 循环测试将执行 n 次，并且嵌套的 for 循环将执行 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 次。

基于外部for循环的所有迭代，内部for循环将运行(n-1)+(n-2)+...+1次。因此，循环语句的净迭代组合将是 (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 1 = (n-1)*n/2 = (n2-n)/2 次。

但我不明白我怎么知道嵌套了多少次 if 语句会执行吗？是 1/2 * n(n+1)/2 吗？

由于 inner-if 语句依赖于数组元素，因此无法直接确定它将运行多少次。

但是，可以肯定的是，在最坏情况下，由于它位于内部 for 循环中，因此 if 语句的最大可能执行次数（在最坏情况下）将是 (n2-n)/2 次。

因此，执行 if 语句的最坏情况复杂度是 O(n²)

【讨论】：

但是当 j = 1 时，内循环不会在外循环的第一次迭代中运行 n 次吗？
@AliMustafa-No，因为 i 的值将设置为 2（因为 i=j+1），这意味着它将循环从 i=2 迭代到 i=n，意味着总共n-1 次迭代。
好的，你能看看我是否说对了：外部for循环头执行n次，外部for循环体执行n-1次？内部for循环头执行n次，内部for循环体执行n-1次？当 j=1
是的，你是对的。 for-loop 的头部比它们的主体多执行一次，因为在每个条目上都会检查测试条件，在不满足条件的情况下会变为 false，因此循环终止。而且，我建议您不要过多考虑循环头，而只考虑循环体的执行次数。从长远来看，这将对您有所帮助。祝你好运。 :) @AliMustafa

【解决方案2】：

外循环应从 1 运行到 n-1，因此 n-1 次。
内循环应从 j+1 运行到 n 次。这意味着当 j 为 1 时，它将运行 2 到 n 次（n-1 次），当 j 为 n-1 时，它将运行 n 到 n 次（1 次）。

因此内部循环应运行 (n-1 + n-2 + ... + 1) 次 = n(n-1)/2 次。

if 语句的执行次数应与内部循环执行的次数相同。当然，条件语句应取决于 if 条件的结果。

【讨论】：