为这段代码建立一个递归关系？答案

【问题标题】：Building a recurrence relation for this code?为这段代码建立一个递归关系？
【发布时间】：2013-06-02 19:46:15
【问题描述】：

我需要为以下算法建立一个递归关系（T(n) 代表元素动作的数量）并找到它的时间复杂度：

Alg (n)
{
    if (n < 3) return;
    for i=1 to n
    {
       for j=i to 2i
       {
           for k=j-i to j-i+100
              write (i, j, k);
       }
    }

    for i=1 to 7
       Alg(n-2);
 }

我来到了这个Recurrence关系（不知道对不对）：

如果 n

T(n) = 7T(n-2)+100n² 否则。

不过，我不知道如何计算时间复杂度。

我的复发正确吗？这段代码的时间复杂度是多少？

【问题讨论】：

标签： big-o time-complexity asymptotic-complexity recurrence

【解决方案1】：

让我们看一下代码，看看递归应该是什么。

首先，让我们看一下循环：

    for i=1 to n
    {
       for j=i to 2i
       { 
           for k=j-i to j-i+100
               write (i, j, k);
       }
    }

这做了多少工作？好吧，让我们从简化它开始。与其让j 从i 计数到2i，不如定义一个从0 计数到i 的新变量j'。这意味着j' = j - i，所以我们得到这个：

    for i=1 to n
    {
       for j' = 0 to i
       { 
           for k=j' to j'+100
               write (i, j' + i, k);
       }
    }

啊，好多了！现在，让我们也将k 重写为k'，其中k' 的范围从1 到100：

    for i=1 to n
    {
       for j' = 0 to i
       { 
           for k'= 1 to 100
               write (i, j' + i, k' + j);
       }
    }

由此更容易看出这个循环的时间复杂度为 Θ(n²)，因为最里面的循环做了 O(1) 的工作，而中间的循环将运行 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = Θ(n²) 次。请注意，它不完全是 100n²，因为总和不完全是 n²，但它很接近。

现在，让我们看看递归部分：

for i=1 to 7
    Alg(n-2);

对于初学者来说，这简直是愚蠢的！你没有理由想要做这样的事情。但是，话虽如此，我们可以说这是对大小为 n - 2 的输入的 7 次算法调用。

据此，我们得到这个递归关系：

T(n) = 7T(n - 2) + Θ(n²) [如果 n ≥ 3]

T(n) = Θ(1) [否则]

现在我们有了递归，我们可以开始计算时间复杂度。这最终有点棘手。如果您考虑一下我们最终会做多少工作，我们会做到的

有 1 个大小为 n 的调用。
有 7 个大小为 n - 2 的调用。
有 49 个大小为 n - 4 的调用。
有 343 个大小为 n - 6 的调用。
...
有 7^k 个大小为 n - 2k 的调用

由此，我们立即得到 Ω(7^n/2) 的下限，因为这是将要进行的调用次数。每个调用都做 O(n²) 的工作，所以我们可以获得 O(n²7^n/2) 的上限。真正的价值就在那里，虽然老实说我不知道如何弄清楚它是什么。很抱歉！

希望这会有所帮助！

【讨论】：

【解决方案2】：

正式的方法是做以下事情：

当涉及到递归调用的数量时，可以从源代码中直观地推断出普遍的增长顺序。

具有 2 次递归调用的算法的复杂度为 2^n； 3 次递归调用的复杂度为 3^n 等等。

【讨论】：