使用递归方法解决这种关系？答案

【问题标题】：solving this relation using the Recurrence method?使用递归方法解决这种关系？
【发布时间】：2018-03-16 13:48:59
【问题描述】：

我不知道如何继续这种重复，因为我没有看到任何模式，有什么帮助吗？？

T(n) = 2n + T(n/2)
     = 3n + T(n/4)
     = 7n/2 + T(n/8)
     = 15n/4 + T(n/16)
     and so on...

【问题讨论】：

n 是什么？为什么有4个公式？您可能需要解决 4 种不同的情况吗？
15n/2 应该是15n/4
关系是 T(n)= 2n + T(n/2) 但我使用递归方法重复了 3 次
如果将2n 替换为1n/0.5，则模式更明显，然后变为an/b + T(n/c) -> (2a+1)n/2b + T(n/2c)

标签： algorithm recurrence

【解决方案1】：

据我了解，这只是简单的重复。

T(n) = 2n + T(n/2)

你的符号可以让人产生不同的想法。对我来说应该是：

T(n) = 2n + T(n/2)                                    ....(1)
T(n/2) = 2(n/2) + T(n/2/2) = n + T(n/4)
T(n) = 2n + n + T(n/4) = 3n + T(n/4)                  ....(2)
T(n/4) = 2(n/4) + T(n/4/2) = n/2 + T(n/8)
T(n) = 2n + n + n/2 + T(n/8) = 7n/2 + T(n/8)          ....(3)
T(n/8) = 2(n/8) + T(n/8/2) = n/4 + T(n/16)
T(n) = 2n + n + n/2 + n/4 + T(n/16) = 15n/4 + T(n/16) ....(4)
T(n/16) = 2(n/16) + T(n/16/2) = n/8 + T(n/32)
T(n) = 15n/4 + n/8 + T(n/32) = 31n/4 + T(n/32)        ....(5)
and so on...

【讨论】：

此循环将无限调用自身。您需要实现它还是需要达到特定 n 值的结果？

【解决方案2】：

这是一个常见的递归关系——如果你是一名 CS 学生，你很快就会知道结果。

如果要手动求结果，从递推式出现几何和：

T(n) = 2n + n + n/2 + ... + n/2^(k+1) + T(0)
     = 2n(1 + 1/2+ ... + 1/2^(k+2)) + T(0)

在哪里k = INT(log2(n))

可以看到一般名词1/2出现几何总和

1 + 1/2 + ... + 1/2^(k+2) = (1 - 1/2^(k+3)) / (1 - 1/2)

观察2^(k+2) = 8 * 2^(log2(n)) = 8n 并简化

T(n) = 4n + T(0) - 1/2 = Theta(4n)

【讨论】：

【解决方案3】：

除了 Alexandre Dupriez 展示的直到 T(0) 的扩展级数方式，您还可以应用主定理来解决它

对于递归方程

T(n) = 2n + T(n/2)

主定理：

对于形式的重复，

T(n) = a T(n/b) + f(n)

where a >= 1 and b > 1

如果 f(n) 是 O(n^c) 那么

如果 c ba，则 T(n) = O(n * log_ba)
如果 c = log_ba，则 T(n) = O(n^c * log n)
如果 c > log_ba，则 T(n) = O(n^c)

我们有 a = 1, b = 2, c = 1 和 c > log_ba (case 3)[as c = 1 and log 1 (any base) = 0]

因此，T(n) = O (n¹)

T(n) = O(n)

【讨论】：