寻找使两个节点之间的最大权重最小化的路径的算法

Question

我想开车从X市到Y市。我的车有一个小油箱，加油站只存在于道路交叉口（交叉口是节点，道路是边缘）。因此，我想采取一条路径，使我在两个加油站之间行驶的最大距离最小化。我可以使用什么有效的算法来找到该路径？蛮力是一种糟糕的解决方案。我想知道是否存在更有效的算法。

Answer 1

这是一个简单的解决方案：

1. 按边的权重排序。

2. 开始一个一个地添加它们（从最轻到最重），直到 X 和 Y 连接起来。

3. 要检查它们是否已连接，您可以使用union-find 数据结构。

时间复杂度为O(E log E)。

正确性证明：

1. 正确答案不大于此解决方案返回的答案。之所以如此，是因为解决方案是建设性的：一旦X 和Y 在同一个组件中，我们可以明确地写下它们之间的路径。它不能包含较重的边缘，因为它们尚未添加。

2. 正确答案不小于此解决方案返回的答案。假设在X 和Y 之间有一条路径，该路径由权重严格小于返回答案的边组成。但这是不可能的，因为之前处理了所有较轻的边缘（我们按排序顺序对其进行迭代）并且 X 和 Y 位于不同的组件中。因此，它们之间没有路径。

1) 和 2) 暗示了该算法的正确性。

此解决方案适用于无向图。

这是一个解决有向情况问题的算法（它也适用于无向图）：

1. 让我们按边的权重对边进行排序。

2. 让我们对路径中最重边的权重进行二分搜索（它由边在所有边的排序列表中的索引确定）。

3. 对于固定答案候选i，我们可以执行以下操作：

   1. 在排序列表中添加索引不超过i的所有边（即所有不比当前重的边）。

   2. 运行 DFS 或 BFS 以检查是否存在从 X 到 Y 的路径。

   3. 根据该路径的存在调整二分查找的左右边界。

时间复杂度为O((E + V) * log E)（我们运行DFS/BFSlog E次，每个都在O(E + V)时间完成）。

这是一个伪代码：

if (X == Y)
    return 0 // We don't need any edges.
if (Y is not reachable from X using all edges)
    return -1 // No solution.
edges = a list of edges sorted by their weight in increasing order 
low = -1 // definitely to small(no edges)
high = edges.length - 1 // definitely big enough(all edges)
while (high - low > 1) 
    mid = low + (high - low) / 2
    g = empty graph
    for i = 0...mid
        g.add(edges[i])
    if (g.hasPath(X, Y)) // Checks that there is a path using DFS or BFS
         high = mid
    else
         low = mid
return edges[high]