MERGE SORT 的 DIVIDE 步骤的基本混淆答案

【问题标题】：Basic Confusion on MERGE SORT’s DIVIDE stepMERGE SORT 的 DIVIDE 步骤的基本混淆
【发布时间】：2018-08-10 07:01:10
【问题描述】：

在Merge Sort中，每个元素的Divide步骤的运行时间在CLRS中被认为是theta(1)，即常数时间。

我的困惑是： 让除法是一个基本操作，需要恒定的时间 C1。现在，考虑伪代码

现在，当 MERGE-SORT 函数第一次调用时，将需要 C1 来划分输入 （注意：- 我们不考虑时间由 Merge 函数获取） 而这个 MERGE-SORT 会将输入 lg(n) 时间 ( 或者我们可以说它会称自己为 lg((n))次) 所以划分输入所花费的总时间应该是C1 * lg(n) 即 theta(lg(n))。

但在 CLRS 中：

如果我们考虑到，那么 Divide Step 将需要 theta(1) 时间（作为整体）

注意：lg 是以 2 为底的对数

附言- 提前抱歉，因为我的英语达不到那个分数。欢迎编辑:)

【问题讨论】：

这里只是一个评论，库中合并排序的大多数实际实现都是bottom up merge sort的变体，其中除法步骤将n个元素的数组视为n次大小为1的运行，然后开始合并过程。混合自下而上合并排序可能首先使用插入排序对 k 个元素的组进行排序，然后对现在已排序的 n/k 个组使用合并排序。

标签： algorithm sorting mergesort

【解决方案1】：

一步除法确实需要固定时间O(1)。

但与您的想法相反，总共有Θ(N) 部门（1+2+4+8+...N/2）。

无论如何这都没有考虑在内，因为总合并工作量是Θ(N Log N)。

【讨论】：

我们总共有 n 个元素（或者说数组大小为 n），要获得 1 个元素（或数组大小为 1），分母必须是 n，这里我们每次将 n 除以 2，因此 2^k = n 等于 k = lg n
@Bhaskar：你的推理是错误的。实现 MergeSort 并安装一个计数器。（或者再读一遍我的回答。）
我不明白为什么 MERGE 步骤需要 O(nlogn) 时间。
@sakek21：单个合并步骤需要 O(N)，总共有 O(N) 个合并步骤。但并非所有尺寸都相同。
是的，我解决了递归关系并弄清楚了。接下来我该怎么做？删除我的答案还是编辑它？

【解决方案2】：

对归并排序的基本理解是这样的——假设我们有一个数组的两半已经排序。我们可以在 O(n) 时间内合并这两部分。

从数学上讲，函数 Merge Sort 为它的两半调用自己两次（DIVIDE 步骤），然后合并这两个（CONQUER 步骤）。

现在，如果我们解决这个递归关系（通过使用适当的数学分析），我们得到如下关系：

这清楚地表明，需要O(1)时间的DIVIDE步骤被调用了n次，而合并所有不同大小的较小一半的总合并工作量是O(n logn)，这是上限。因此复杂度为 O(n logn)（感谢 Yves Daoust 的澄清）。

但是，DIVIDE 步骤只需要 O(1) 时间，称为 O(n) 时间。因此，除法的工作量为 O(n)。

【讨论】：

如果一个除法需要 C1 时间，那么 log n 除法将花费 C1 * log n 即 O(log n) 不是吗
@YiğitArasTunalı 那么整个除法步骤将花费 O(log n)，不是吗？
数组不是分O(Log N)次而是O(N)次。
我的错，我有点糊涂了。没错，它会被称为O(n)times
@YvesDaoust 请检查我编辑的答案。从中我明白了很多东西。