大O；增长率顺序

Question

对以下函数的增长率排序： 10^-5n, 10²log n, 3ⁿ, n log n, 10^-100n2 + 10³n, nⁿ

然后证明每个关系。例如：如果排序是 A

---

根据我所做的数学计算，我得出的结论是正确的顺序如下：

10²log n -5n -100n² + 10³n n n

但是，我无法证明这一点。我计算出 log n 的增长率小于 n 的增长率，而 n 的增长率小于 n log n。而且我知道，就增长率而言，n2 小于 3ⁿ，即小于 nⁿ。我应该如何证明这些关系？

Answer 1

这是处理 f(n) = O(g(n)) 当且仅当的事实的好地方

lim_{n → ∞} f(n) / g(n) = L

对于 L 的某个值。例如，让我们看看 3ⁿ 与 nⁿ。取比率的极限给出

lim_{n → ∞} 3ⁿ / nⁿ

= lim_{n → ∞} (3 / n)ⁿ

= 0

所以 3ⁿ = o(nⁿ)。您应该能够使用类似的技术来推理此处的所有其他数量。最棘手的是将日志项与其他项进行比较。为此，按照建议，使用 l'Hopital 规则。

Answer 2

如果排序是 A

所以这只是一个证明链。对于您的订购，这确实是正确的，我们有：

首先，我们将证明 A = O(B)，所以在这种情况下

根据@templatetypef 给出的Big-Oh 符号的定义，我们确实计算出 通过查看比率的限制

其余的同理，现在去证明10^(-5)n = O(n log n)。最后，您将证明完整的排序关系。