线段与椭圆之间的距离

Question

我正在尝试找到一种有效的方法来计算给定线段和椭圆之间的距离：

研究了一下，我在Youtube 上找到了该链接，并尝试使用熟悉的 C# 函数复制该方法。 我必须为某些计算添加一些扩展，比如找到椭圆和线段/线（带旋转的椭圆）之间的交点。 几个小时后，我设法复制了该方法，但显然它似乎不太有效。或许是的，我不知道。

我将用颜色来说明它，而不是使用传统的命名法，因为我没有时间将字母放在图表上。

垂直于初始线段的洋红色线段是使用辅助线段（蓝色）和圆形（红色）之间第一个交点的距离计算得出的

Answer 1

通过相似变换（将中心平移到原点并将特征向量旋转到坐标轴），您可以将椭圆变为其规范形式

x²/a² + y²/b² = 1.

同时，线段的支撑线变成方程

px + qy + r = 0.

现在，通过使用椭圆的参数方程，我们最小化

(p a cosΘ + q b sinΘ + r)²

并通过取消导数，

-p a sinΘ + q b cosΘ = 0

或

tanΘ = q b / p a.

根据Θ 的值，您可以在椭圆上得到一个点，并检查它是否投影在该段上。如果不是，则最短距离是到线段端点之一。我们最小化

(a cosΘ - x)² + (b sinΘ - y)²,

通过

-a sinΘ (a cosΘ - x) + b cosΘ (b sinΘ - y) = 0.

这里通过Weierstrass替换使表达式合理化是有利的，我们得到

- a 2t/(1+t²) (a (1-t²)/(1+t²) - x) + b (1-t²)/(1+t²) (b 2t/(1+t²) - y) = 0

或

- a 2t (a (1-t²) - x (1+t²)) + b (1-t²) (b 2t - y (1+t²)) = 0.

这是一个您无法逃脱的四次多项式，因为有多达四个解（其中您保持最短距离）。