顶点最大入度的有向图

Question

当我遇到这个问题时，我正在尝试查看网络流的几个应用程序：

我们从一个有向图 G = (V,E) 开始。我们需要向图中添加更多边，以便我们拥有\forall u,v \in V, e = (u -> v) or e = (v -> u) but not both。即，我们希望向图中添加更多边，以便图中的每一对顶点相互连接（具有出边或入边，但不能同时连接两者）。因此，我们总共将拥有|V||V-1|/2 边。当我们构建这个图时，我们需要确保给定顶点的入度，比如w 是图的所有顶点中的最大值（如果可能，给定原始图）。请注意，我们无法更改原始图中边的方向。

我正在尝试使用网络流来解决它，方法是构建一个没有顶点 w 的网络（以及 2 源、s 和接收器的新顶点，t）。但是我不确定如何在新图中表示容量和流向，以便将问题简化为网络流，以便在图中找到边缘方向。也许我正在做的事情是错误的，但我只是写了如果有人可能会从中得到提示。

Answer 1

在解决这类问题时，我倾向于写下一个数学程序，然后对其进行按摩。显然，我们应该将所有涉及 w 的缺失边指向 w。令 d 为 w 的入度。对于所有不同的 i、j，如果弧 i->j 出现在解中，则令 x_{ij} = 1，如果弧 j->i 出现，则令 x_{ij} = 0。

forall j. sum_i x_{ij} <= k
forall i <> j. x_{ij} = 1 - x_{ji}
forall i <> j. x_{ij} in {0, 1}

仅当 i x_{ij}。

(*) forall j. sum_{i<j} x_{ij} + sum_{i>j} (1-x_{ji}) <= k
forall i < j. x_{ij} in {0, 1}

现在 (*) 开始类似于守恒约束，因为每个变量出现一次是负数，一次是正数。让我们把不等式改成等式。

(*) forall j. x_{si} + sum_{i<j} x_{ij} + sum_{i>j} (1-x_{ji}) = k
              ^^^^^^                                           ^
forall i < j. x_{ij} in {0, 1}
forall i. x_{si} >= 0
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

我们几乎一直到流 LP ——我们只需要清除常量 1 和 k。剩下的交给你处理（包括引入 t）。