边密度与图中顶点数之间的关系答案

【问题标题】：relationship between density of edges to the number of vertices in graph边密度与图中顶点数之间的关系
【发布时间】：2012-02-20 16:32:59
【问题描述】：

我想了解如何计算密集图与稀疏图的大 O。 “算法简而言之”说，对于稀疏图，O(E) 是 O(V)，而对于密集图，O(E) 更接近 O(V^2)。有谁知道这是怎么推导出来的？

【问题讨论】：

标签： graph-algorithm

【解决方案1】：

假设图是simple - 在最坏的情况下，每个节点都可以连接到所有|V|-1 其他节点，导致[在非有向图中：]|E| = (|V|-1) + (|V| -2) + ... + 1 <= |V| * (|V| -1) = O(|V|^2)。在有向图中：|E| = |V| * (|V|-1) = O(|V|^2)。

密集图的一个很好的例子是clique - 它有所有的边。

对于稀疏图 - 我们假设连接到每个顶点的边数由一个常数限制。让这个常数为k。因此：|E| <= k* |V|，我们得到|E| = O(|V|)

互联网是稀疏图的一个很好的例子，其中每个 URL 都是一个节点，每个链接都是一条边。

注意，如果图形不简单，则不能将|E|与|V|的任何函数绑定。

【讨论】：

我在理解密集图的公式时遇到问题：|E| = (|V|-1) + (|V| -2) + ... + 1
@iralight：是的，它是sum of arithmetic progression。看看随附的链接。

【解决方案2】：

它不是派生的，它是一个定义。在具有自环的全连接（有向）图中，边数 |E| = |V|² 所以密集图的定义是合理的。稀疏图的定义是 O(|E|) = O(|V|)，因此每个顶点的最大边数是恒定的。

请注意，如果边数少得多，例如O(lg |V|)，那么它仍然是 O(|V|)。可以想象一个带有 |E| 的“半稀疏”类图。 = O(|V| lg |V|) 之类的，但我个人在实践中从未遇到过这样的类。

【讨论】：

谢谢，我忘记了自循环！现在有道理了：）
@iralight：感谢您的接受，但自循环不是问题。即使在没有自环的完全无向图中，边数也是 |V|×(|V|-1)/2，即 O(|V|²)。
明白了......从概念上讲，我可以通过自循环完全填充 V^2 邻接矩阵。感谢您的澄清