【发布时间】：2014-09-21 06:38:01
【问题描述】：
我有一个由以下给出的递归关系：
T(n)=4T(n-1) - 3T(n-2)
我该如何解决这个问题？ 任何详细解释：
我尝试的是使用关系替换右侧的T(n-1)，我得到了这个：
=16T(n-2)-12T(n-3)-3T(n-2)
但我不知道在哪里以及如何结束。
【问题讨论】：
标签： algorithm big-o time-complexity recurrence
【发布时间】：2014-09-21 06:38:01
【问题描述】：
你不仅可以很容易地得到这个递归的时间复杂度，而且你甚至可以精确地解决它。这要归功于线性递推关系背后的详尽理论，您在这里调用的是homogeneous linear recurrence 的一个具体案例。
要解决它，您需要编写一个特征多项式：t^2 -4t +3 并找到它的根，它们是 t=1 和 t=3。这意味着您的解决方案是以下形式：
T(n) = c1 + 3^n * c2.
如果您有边界条件，您可以获得c1 和c2，但对于您的情况，声明O(3^n) 时间复杂度就足够了。
【讨论】：
虽然显然是O(4^n)（因为T(n)<=4*T(n-1)），但看起来可以证明一个更小的限制：
T(n) = 4*T(n-1) - 3*T(n-2)
T(n) - T(n-1) = 3*T(n-1) - 3*T(n-2)
D(n) = T(n) - T(n-1)
D(n) = 3*D(n-1)
D(n) = D(0) * 3^n
如果D(0)=0，T(n)=const=O(1)
否则，由于差异是指数的，因此结果函数也将是指数的：
T(n) = O(3^n)
【讨论】：
注意：-一般来说，这些循环关系（循环函数调用的次数是重复的，例如-recurrence relation for a fibonacci sequence for value n）将导致指数时间复杂度。
首先，您的问题不完整。它不提供终止条件（循环将终止的条件）。我认为它必须是
T(n) = 1，n=1，2，n=2
基于这个假设，我开始分解上面的递归关系
将 T(n) 代入 T(n-1) 我得到了：
16T(n-2) - 24T(n-3) + 9T(n-4)
这形成了一个 2 次方的多项式
{(4^2)T(n-2) - 2.4.3 T(n-3) + (3^2) T(n-4)}
再次打破上述重复，我们得到：
64T(n-3) -144T(n-4) + 108T(n-5) -27T(n-6)
这是3次幂的多项式
在分解 n-1 项的关系时，我们将得到：
(4^n-1) T(1) - ............. 类似的东西
我们可以清楚地看到，在上面的扩展中，所有剩余的项都将小于 4^n-1 因此，我们可以将渐近符号表示为：
O(4^n)
作为一个练习，您可以将多项式扩展为更多项，还可以绘制递归树以找出实际发生的情况。
【讨论】：
尝试 T(n) = x^n 会得到一个二次方程：x^2 = 4x - 3。这有解 x=1 和 x=3，所以 T(n) 的一般形式是 a + b *3^n。 a 和 b 的确切值取决于初始条件（例如，T(0) 和 T(1) 的值）。
根据初始条件，解将是 O(1) 或 O(3^n)。
【讨论】：