如何使这个函数在恒定时间内处理？答案

【问题标题】：How to make this function process in constant time?如何使这个函数在恒定时间内处理？
【发布时间】：2012-07-30 15:13:07
【问题描述】：

我需要找到这个无限级数的第 n 项：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4...

你能给我这个任务的常数时间函数吗？

int i = 1;
while(true)
{
   if(i = n)
      //do things and exit the loop

   i++;
}

我认为这不会是一个常数时间函数...

【问题讨论】：

return x[n - 1]; 固定时间够你用吗？
澄清一下，数组是否总是包含一个“1”、两个“2”、三个“3”等？
哦，你想要第n个唯一词吗？
我认为我们都在关注其中的“数组”部分，这不是他的问题。我认为问题是，“如何确定在 O(1) 时间内遵循这种模式的数字序列的第 n 项？”
我不知道数组的长度或任何东西。我只知道数组的模式（例如：数组将有 1 个值为 1 的项目，2 个值为 2 的项目，3i 和 v 3，...，10 i 和 v 10）

标签： c# time-complexity

【解决方案1】：

编辑

在阅读了更多的 cmets 之后，我似乎误解了这个问题。

如果您想在一个 array 中以恒定时间在 nth 位置找到项目，那么答案很简单：x[n]，因为数组访问是恒定时间。但是，如果由于某种原因您使用了一些访问时间不固定的容器（例如链表），或者不想在数组中查找值，则必须使用 arithmetic series 公式来找到答案.

算术级数告诉我们ith 唯一项的位置n 将是

n = i * (i - 1) / 2

所以我们只需要求解i。使用二次公式，并丢弃无意义的否定选项，我们得到：

i = Math.Floor( (1 + Math.Sqrt(1 + 8 * n)) / 2)

原始回复

我假设您正在寻找第 n 个 unique 项的位置，否则问题就很简单了。

听起来第 n 个唯一术语的第一次出现应该跟在 arithmetic series 之后。 IE。第 n 个唯一项的位置是：

n * (n - 1) / 2

【讨论】：

+1 假设值始终遵循该模式，并且“术语”他的意思是值，那么是的，这很好用
如果他想要给定系列的第 n 个唯一项，那么答案是 return n;...
不，我想知道第 n 个索引处的值，而不知道孔数组，只知道数组的模式
@HansZ 只是因为数组从 1 开始。遵循从任意数字开始的相同模式会使问题变得更有趣
@ngmiceli return n + k - 1; //k is the starting number

【解决方案2】：

根据我对问题的理解，这更像是一道数学题，而不是编程题。

如果问题是：

给定一个由 1 的 1 份、2 的 2 份、3 的 3 份... n 份 n 组成的无限级数，这个级数的第 k 个值是多少？ p>

现在处理这个问题的第一个线索是在第一次出现 n + 1 之前有 1 + 2 + 3... + n 个值。具体来说，在 n+ 之前有（前 n 个数字的总和）值1，或 (n)(n-1)/2。

现在设置 (n)(n-1)/2 = k。乘以并有理化为 n^2 - n - 2k = 0。使用二次方程求解，得到 n = (1 + sqrt(1+8k))/2。下限为您提供了 n 之前有多少完整副本，并且令人高兴的是，给定从零开始的索引，下限为您提供数组中第 k 个点的值。

这意味着你在 c# 中的最终答案是

return (int) Math.Floor((1 + Math.Sqrt(1 + 8 * k)) / 2);

鉴于非零索引，

return (int) Math.Floor((1 + Math.Sqrt(-7 + 8 * k)) / 2);

【讨论】：

【解决方案3】：

        public static long Foo(long index)
        {
            if (index < 0)
            {
                throw new IndexOutOfRangeException();
            }

            long nowNum = 0;
            long nowIndex = 0;
            do
            {
                nowIndex += nowNum;
                nowNum++;
            } while (nowIndex < index);
            return nowNum;
        }

【讨论】：