线性时间的拓扑排序复杂度？答案

【问题标题】：Topological sort complexity in linear time?线性时间的拓扑排序复杂度？
【发布时间】：2021-10-18 20:30:30
【问题描述】：

我正在尝试计算用python实现的卡恩算法的算法复杂度，我偶然发现了这篇文章：https://www.geeksforgeeks.org/topological-sorting-indegree-based-solution/ 在计算所有节点度的代码部分有这个

for each node in Nodes
    If (list[node].size()!=0) then
        for each dest in list
            indegree[dest]++;

在文章中说复杂度是 O(V+E)，但为什么呢？ fors有两个嵌套，不应该是O(V*E)吗？

我在 python 中写了一个类似这样的实现：

for vertex in graph:                    # O(V) * O(E) = O(V * E). ??
    for edge in graph[vertex]:          # O(E)+O(1) => O(E)
        indegree[dege] += 1             # O(1)

V = 图的顶点数

E = 边数

【问题讨论】：

标签： python-3.x time-complexity complexity-theory topological-sort

【解决方案1】：

这是图形算法中常用的表示法，用于指定算法对图形密度的依赖程度。 E 始终是 O(V^2)，但这个界限可能并不紧密。假设没有很多边（例如，一棵树，其中正好有 V - 1 边）。然后O(V + E) = O(V + V) = O(2V) = O(V)。

现在考虑一个密集图（例如，一个完整图，其中至少有 V(V-1) 边，如果允许自边，则更多）。现在O(V+E) = O(V + V^2 - V) = O(V^2)。

在O(...) 内部，+ 的行为有点像max：整体复杂性由两个加数中的较大者决定。这基本上为您提供了一种简写方式，用于显示复杂性如何沿两个轴增长：一个是顶点数，二是边的密度。

【讨论】：

【解决方案2】：

具体来说，复杂度将更准确地表述为V + 2E（其整体复杂度等级为O(V + E)。我们对每个顶点仅迭代一次，每条边恰好迭代两次（对于它所附加的每个顶点一次）-假设graph[vertex] 只返回连接到该顶点的边，这似乎是算法的意图。

嵌套循环确实通常表示* 而不是+，这涉及到复杂性。但是，如果内部循环正在迭代与外部循环不同的东西，我们有时会遇到这样的情况 - 在 all 内部循环中存在特定且恒定数量的事物，以某种方式分布在外循环。

在这种情况下，我们确实可以将复杂度写为O(V + E)，因为我们迭代的E 的数量与我们迭代的V 的数量没有任何关系——只是顺序我们在其中这样做，复杂性并不真正关心。

【讨论】：