MATLAB 的符号数学无法解决简单的不等式

Question

我有一个简单的不等式，而 MATLAB 的符号数学工具箱正在做一些非常奇怪的事情。以下是变量：

>> syms X ndot4B xiA ndot4A xiB

我正在尝试解决以下不等式（请自行“在纸上”解决）：

>> solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0, xiA)

答案是：

ans =

(X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B)

但这是不正确的。相反，如果我将其解决为等式：

>> solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB, xiA)

结果是：

ans =

(X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B)

以上是正确的（即xiA 必须大于上述解决方案）。区别在于分子。 Maple 做对了（应该如此）。关于可能发生的事情的任何想法？很难相信 MATLAB 会搞砸这么简单的计算。

编辑：

根据 horchler 的回答，我尝试使用 MATLAB 和 Maple 上的假设来解决相同的不等式。

MATLAB：

枫木：

我还是觉得 MATLAB 的回答很奇怪……

Answer 1

您的系统定义不明确。您（也许还有 Maple）正在做出一些不一定正确或至少彼此不同的假设。当solving inequalities 时，最好使用'ReturnConditions' 选项来查看解决方案的完整详细信息。在你的情况下：

syms X xiA ndot4B ndot4A xiB
s = solve(X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0, xiA, 'ReturnConditions', true)

这会返回一个数据结构：

       xiA: [1x1 sym]
parameters: [1x1 sym]
conditions: [1x1 sym]

现在您会看到有一个附加参数（s.parameters 是 x）和一组条件（s.conditions 是 X ~= 1 & ndot4B ~= 0 & 0 < x）。解，s.xiA，是参数的函数：

-(x - X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B)

因为您使用严格的不等式（> 而不是>=）来解决这个问题，所以参数x 实际上不能等于零以保证满足不等式（Maple可能会同时对待这两种情况，我不确定）。

那么为什么在不要求返回条件的情况下，Matlab 的符号引擎（与 MuPAD 环境不太一样）返回(X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B)？首先，这个答案满足不等式并且是完全有效的，因为没有关于每个变量范围的信息（假设）。看起来Matlab没有返回错误或警告，而是选择了参数x的第一个满足条件的整数值，即1。它似乎对<= 的情况进行了类似的处理，但由于某种原因没有为x 选择0（这将与== 匹配）。我建议filing a service request 如果您想尝试询问 The MathWorks 为什么会这样，以及它是否可能是某种错误。

我还建议在使用 solve 时了解和使用 assumptions。

Answer 2

solve 的回答是正确的。您只需要分子中的一些正值来满足不等式。它可以是任何值，因此solve 引入了一个参数。

您可以验证您提出的答案和solve 的答案为：

syms X ndot4B xiA ndot4A xiB
eqn = X*ndot4B*xiA - ndot4B*xiA + X*ndot4A*xiB > 0;
trySol = (X*ndot4A*xiB)/(ndot4B - X*ndot4B); % let's try the proposed answer
tryCondition = subs(eqn,xiA,trySol); % substitute the answer to get the condition
isAlways(tryCondition) % check if the condition holds?
ans =
  logical
   0

条件不成立。现在用同样的步骤试试solve的回答：

trySol = (X*ndot4A*xiB - 1)/(ndot4B - X*ndot4B);
tryCondition = subs(eqn,xiA,trySol);
isAlways(tryCondition)
ans =
  logical
   1

这个答案是正确的。您可以通过将这两个值替换为xiA 自己在纸上检查。您只需要分子中的一些正值来满足> 不等式。例如，即使使用 eps 而不是 1 也可以：

trySol = (X*ndot4A*xiB - eps)/(ndot4B - X*ndot4B);
isAlways(subs(eqn,xiA,trySol))
ans =
  logical
   1

正如 horchler 所指出的，如果将 > 更改为 ==，则不需要正值。

solve 引入了假设，X~=1 和 ndot4B~=0，因为当您将不等式的两边除以一个常数时，该常数不能是 0。

希望这会有所帮助。