使用 9 个数据点进行数值微分

Question

当我尝试在 Matlab 中进行数值微分时遇到问题。但我的问题可能更多是关于数值分析而不是关于 Matlab。

我有一个包含 9 个数据点的数组，代表 9 个不同 x 的 f(x)。我需要以数字方式找到 f''(x) 。我对 x 和 f(x) 的值是

x = [2271.38, 2555.30, 2697.26, 2768.24, 2839.22, 2910.20, 2981.18, 3123.14, 3407.06]

f(x) = [577.4063, 311.3341, 193.0833, 141.3048, 95.1501, 58.8130 32.4931, 6.9511, 0.1481]

我可以进行插值以获得平滑曲线。我使用样条插值，但是当你要区分时，其他插值更可取吗？

我尝试了不同的方法：

只是简单的前向、后向和中心差商

基于小波的方法：http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13948-numerical-differentiation-based-on-wavelet-transforms

以及派生套件：http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/13490-adaptive-robust-numerical-differentiation

这些都不令人满意。二阶导数在步长方面非常不稳定，并且派生套件中的自适应方法非常糟糕。可能是我用错了！

感谢任何帮助！

提前致谢

Answer 1

我想是你前几天在 MATLAB Central 上问了一个类似的问题。你没有在那里发布你的数据，所以我当时真的无法给出一个好的答案。

二阶导数的估计是一件困难的事情。这是一个不适定的问题。微分本身就是一个噪声放大器，因此估计二阶导数是“两倍”的糟糕。这根本不是一件容易的事，当然也不是很好。

使用这组点，我选择使用我的SLM toolbox 估计样条模型。

x = [2271.38, 2555.30, 2697.26, 2768.24, 2839.22, 2910.20, 2981.18, 3123.14, 3407.06];
f = [577.4063, 311.3341, 193.0833, 141.3048, 95.1501, 58.8130 32.4931, 6.9511, 0.1481];

首先，绘制数据。我能从那个情节中学到什么？我可能会选择做出任何推论吗？

简单的情节告诉我，连同你的 cmets，我希望这个函数是一个单调递减函数。它似乎在每一端都是渐近线性的，就像一个双曲线段，在整个域上具有正曲率。

所以现在我将使用我的 SLM 工具箱，利用这些信息为您的数据构建模型。

slm = slmengine(x,f,'plot','on','decreasing','on','knots',20, ...
    'concaveup','on','endconditions','natural');

slmengine 旨在以曲线形状处方的形式从您那里获取信息。您会发现，通过提供此类信息，它极大地规范了结果的形状，以符合您对过程的了解。在这里，我只是对您的 cmets 的曲线形状进行了一些猜测。

在上述通话中，我指示 SLM：

• 完成后绘制结果图
• 创建 x 的单调递减函数
• 使用 20 个等间距的结
• 强制曲线具有处处为正的二阶导数
• 将末尾的二阶导数设置为零

生成的绘图本身就是一个 gui，允许您绘制函数和数据，还可以绘制结果的导数。垂直的绿线是结的位置。

在这里，我们看到曲线拟合是您正在寻找的合理近似值。

二阶导数情节如何？当然，SLM 是一种分段三次工具。因此二阶导数只是分段线性的。这是一个问题吗？你会要求我提供高阶样条曲线的工具吗？太糟糕了，但不，我不会。这些高阶导数的估计太差，无法要求高度平滑的结果。事实上，我对这个预测很满意。请注意，二阶导数中的故障是一致的。如果我使用更多或更少的结，它们仍然存在。这是一种很好的方式来了解您看到的形状是曲线的特征，还是仅仅是结放置的产物。

看到我对曲线形状施加的约束导致了非常合理的拟合，尽管我使用的节点比我拥有的数据点多得多。 SLM 的估计没有问题。

如果我想尝试更平滑地估计二阶导数，只需使用更多节点即可。 SLM 相对较快。因此，在 50 节的情况下，二阶导数曲线的结果非常相似。

您可以在 MATLAB Central 上找到 SLM (here)。它确实需要优化工具箱。

Answer 2

这是一个扩展评论，而不是答案：

您对生成这些点的函数了解多少？例如，如果您有充分的理由相信它是一个 2 次多项式，那么您的第一步就是找到最适合您的点的 2 次多项式，然后对其进行二阶导数。如果您认为样条（某种）是对 f 的更好描述，那么拟合样条。

我没有，也不会画出你的函数图，所以我不会冒险猜测什么是合理的函数开始。

如果您对该函数一无所知，那么您可以拟合任何曲线，从而得到您最喜欢的结果——只是不要自欺欺人地认为您已经得到了该函数的二阶导数。您将拥有所选函数的二阶导数，但对创建数据的函数的二阶导数没有比一开始更多的知识。