这个 IRR 实现中使用的数值方法是什么？

Question

ActiveState Recipes 站点有一个用 Python 实现 Internal Rate of Return 的函数：

def irr(cashflows, iterations=100):
    """The IRR or Internal Rate of Return is the annualized effective 
       compounded return rate which can be earned on the invested 
       capital, i.e., the yield on the investment.

       >>> irr([-100.0, 60.0, 60.0, 60.0])
       0.36309653947517645
    """
    rate = 1.0
    investment = cashflows[0]
    for i in range(1, iterations+1):
        rate *= (1 - npv(rate, cashflows) / investment)
    return rate

此代码返回正确的值（至少对于我检查过 Excel 的几个示例），但我想知道为什么。

• 它似乎不是牛顿法（无导数）或正割法（仅跟踪一次迭代）的实现。
• 特别是，将投资变量定义为第一个现金流量元素（以及它的后续使用）让我感到困惑。

有什么想法吗？

Answer 1

该方法称为定点迭代；例如参见维基百科文章http://en.wikipedia.org/wiki/Fixed_point_iteration。

想法是如果rate包含正确的值（即IRR），那么NPV为零，所以语句

rate *= (1 - npv(rate, cashflows) / investment)

不会改变rate。因此，一旦找到 IRR，迭代就不会改变它。定点迭代有时会收敛到正确的值，有时则不会。 @Gareth 和 @unutbu 的例子表明，这里并不总是收敛。

收敛的标准如下。将循环中的更新语句写为

rate = rate * (1 - npv(rate, cashflows) / investment)

现在，如果右侧相对于rate 的导数介于 1 和 -1 之间，则该方法收敛。我无法立即看出在什么情况下会出现这种情况。

您可能想知道为什么迭代不这样做

rate *= (1 - npv(rate, cashflows))

没有奇怪的investment 变量。确实，我也有同样的疑惑；如果满足导数条件，这也是一种收敛到 IRR 的定点方法。我的猜测是，在某些情况下，您给出的方法满足导数条件，而不是没有investment 的方法。

Answer 2

对我来说这似乎是假的。收敛速度太慢，不适合实际使用。

>>> irr([-100, 100]) # expecting answer 0
0.00990099009900991

Answer 3

在我看来也是假的。

>>> irr([-100,50],100000)  # expecting answer -0.5
0.0