使用Power方法从Python中的3x3矩阵获取特征值

Question

我正在尝试通过在 Python 中使用幂法从 3x3 矩阵中获取所有特征值。但是由于某种原因，我的方法从正确的特征值返回不同的特征值。

我的矩阵：A = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5,-1]]

正确的特征值：[ 8.54851285, -4.57408723, 0.02557437 ]

我的方法返回的特征值：[ 8.5485128481521926, 4.5740872291939381, 9.148174458392436 ]

所以第一个是正确的，第二个有错误的符号，第三个都是错误的。我不知道我做错了什么，我看不出我在哪里做错了。

这是我的代码：

import numpy as np
import numpy.linalg as la

eps = 1e-8 # Precision of eigenvalue

def trans(v): # translates vector (v^T)
    v_1 = np.copy(v)
    return v_1.reshape((-1, 1))

def power(A):
    eig = []
    Ac = np.copy(A)
    lamb = 0
    for i in range(3):
        x = np.array([1, 1, 1])
        while True:
            x_1 = Ac.dot(x) # y_n = A*x_(n-1)
            x_norm = la.norm(x_1) 
            x_1 = x_1/x_norm # x_n = y_n/||y_n||
            if(abs(lamb - x_norm) <= eps): # If precision is reached, it returns eigenvalue
                break
            else:
                lamb = x_norm
                x = x_1
        eig.append(lamb)

        # Matrix Deflaction: A - Lambda * norm[V]*norm[V]^T
        v = x_1/la.norm(x_1)
        R = v * trans(v)
        R = eig[i]*R
        Ac = Ac - R

    return eig

def main():
    A = np.array([1, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 5, -1]).reshape((3, 3))
    print(power(A))



if __name__ == '__main__':
    main()

PS。有没有更简单的方法可以从幂法而不是矩阵变形中获得第二个和第三个特征值？

Answer 1

有

lamb = x_norm

你只计算特征值的绝对值。更好地将它们计算为

lamb = dot(x,x_1)

其中x 被假定为标准化。

由于您没有删除负特征值 -4.57408723，而是有效地添加它，因此第三阶段的最大特征值是 2*-4.574.. = -9.148..，您再次计算了绝对值。

Answer 2

我不知道这个方法，所以我google了一下，在这里找到了：

http://ergodic.ugr.es/cphys/LECCIONES/FORTRAN/power_method.pdf

它仅对查找前导（最大）特征值有效，因此，它似乎对您很有效，并且不能保证以下特征值是正确的。 顺便提一句。 numpy.linalg.eig() 的工作速度比你的这个矩阵的代码要快，但我猜你是把它作为练习来实现的。