将过渡 + 圆 + 过渡曲线拟合到一组测量点答案

【问题标题】：Fitting a transition + circle + transition curve to a set of measured points将过渡 + 圆 + 过渡曲线拟合到一组测量点
【发布时间】：2020-11-25 21:44:40
【问题描述】：

我正在处理关于道路几何形状和设计条件估计的逆向工程问题。

假设您有一组从道路位置测量中获得的点。这条路有直路段和弯路段。当然，直线部分用直线表示，曲线用中心和半径未知的圆表示。也有过渡部分，可能是回旋曲线/欧拉螺旋或任何其他常见的轨道过渡曲线。轨道的表示可能如下所示：我们事先知道，道路/轨道的设计考虑到了每条弯道的过渡+圆+过渡的原则，但我们只有测量点，目标是找到描述轨道上每条弯道的参数，这就是, 过渡参数以及圆的中心和半径。

我使用非线性优化算法编写了一些代码，用户可以在其中选择起点和终点，并将圆拟合到它们之间的圆弧部分，如下图所示：但是，我没有找到合适的方法来考虑过渡。经过一番思考后，我开始认为这是因为，给定一组离散点 - 以及它们的测量误差 - 代表一条完整的曲线，并不完全清楚认为它“开始”和“结束”的位置和，此外，在哪里考虑过渡、正确的圆和退出过渡的“开始”和“结束”也不太清楚。

我可能错过了关于这个主题的任何工作吗？有没有合适的方法将整个过渡 + 曲线 + 过渡结构拟合到点集？

【问题讨论】：

您的数据点似乎过于稀疏，无法检测过渡部分，甚至无法准确/可靠地拟合圆圈！虽然无法从图中看到确切的点密度和噪声幅度。
@YvesDaoust 抱歉，这是我本可以包含的一些信息。虚线表示显然不适合表示点密度。以每秒 20 个 GPS 位置的采样频率在铁路线上进行测量。每个距离单位的确切地理位置不是唯一的，因为速度不是恒定的，但由于最大速度为 80 公里/小时（22.22 米/秒），因此在最坏的情况下，每 90 厘米（大约）有一个样本。很少有噪声位可能会被抑制和插值，因为它们会抛出巨大的曲率值。
@YvesDaoust 此外，在图中，地理坐标已转换为笛卡尔坐标，但这不是强制性的。你认为这样的密度（假设每 90 厘米一个样本，在最坏的情况下）是否足以进行几何估计？
回旋曲线段的典型长度是多少？测量的准确度如何？

标签： geometry curve-fitting computational-geometry numerical-methods

【解决方案1】：

据我所知，没有任何方法可以将一个序列clothoid1-circle-clothoid2 拟合到一组给定的点中。

基本事实是两点定义一条直线，三点定义一个独特的圆。

回旋曲线要复杂得多，因为你需要：参数A，最终半径Rf，初始点px,py ，该点的半径Ri，以及该点的切线T（与X轴的夹角）。
这些是您可以用来找到解决方案的 5 个数据。

由于回旋曲线坐标是通过扩展菲涅耳积分计算的（请参阅 https://math.stackexchange.com/a/3359006/688039 一点解释），然后应用平移和旋转，因此没有简单的方法可以将此螺旋线拟合到一组给定点中。

当我不得不处理你的问题时，我所做的是：

计算三个连续点的半径：p1p2p3、p2p3p4、p3p4p5 等
观察半径的顺序。相似值表示圆形，增加/减少值表示回旋曲线；大值意味着顺子。
对于每个基本元素（线、圆），手动或通过某种回归方法找到最可能的特征（角度、顶点、半径）。很多时候，常识是最好的。
对于螺旋线，您可以从取自相邻元素的近似值开始。这些值很可能是初始角度和点，以及初始和最终半径。然后你需要迭代，使用菲涅耳和“空间变化”，直到找到一个“好的”参数A。然后重复其他值的微小差异，即您从相邻值中获取的值。
进行您认为好的更改。例如，许多值（A、半径）曾经是整数，没有小数，只是因为设计人员更容易输入。

如果您可以制作一个小程序来执行这些步骤，那就足够了。使用典型的道路软件会有所帮助，但不会避免您的迭代过程。

【讨论】：

好的，这是一个很好的答案，我会从中汲取一些想法。在计算连续三元组的半径之前，您会使用过滤器（移动平均线、Savitzky-Golay 等）还是一些数据软化方法？
我认为最好的数据是原始数据。数据本身存在错误，您无法提前知道所有类型的错误来源。因此，最佳拟合是最小化数据和估计几何之间的最终差异。
在尝试任何事情之前，我认为必须检查是否有足够准确的数据可用（我对此表示怀疑）。
拟合回旋曲线在理论上没有不可能，你必须在几何模型中添加相关参数（例如起点/终点的位置），并使用通用最小化器。但是您可以预期准确度会非常低。
@YvesDaoust 此处拟合回旋曲线的方法是不尝试拟合回旋曲线。相反，您拟合直线和圆弧，按照拟合曲线的偏差对点序列进行分块。对于每个线/弧组合，最多存在一个回旋曲线，它与每个端点的相邻线段相切并具有相同的曲率——我们在拟合阶段。因此，您可以抖动拟合线/拟合弧并最大限度地减少过渡段上的后续偏差。

【解决方案2】：

如果点与有效曲率半径相比是密集的，则通过在少数点上对圆进行最小二乘拟合来估计局部曲率，同时考虑到曲率大部分时间为零。

您将获得一个带有常数值和连接它们的斜坡的图。您可以使用拐点处的斜率估计值来确定过渡点。

【讨论】：

点数越少，误差越大，不确定性越大。相反，在保持偏差较小的情况下，尝试尽可能多地增加点数。这样，您可以在拟合弧线和直线时检测这些线段。