乘法浮点数的精度答案

【问题标题】：Precision of Multiplying Floats乘法浮点数的精度
【发布时间】：2016-05-07 03:15:31
【问题描述】：

对浮点数和双精度数执行运算（如乘法、除法、加法和减法）是否保持其精度？

例如，如果我将 1000 个浮点数相乘（或除、加、减），我是否仍能保持 7 位精度？

我在此网站上读到保持精度 (http://floating-point-gui.de/formats/fp/)，但我想仔细检查。

【问题讨论】：

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使用乘法/除法的平均损失为 sqrt(N) 或大约 30 位。

标签： floating-point double precision

【解决方案1】：

There's precision and there's accuracy。 float 的精度始终相同。但是计算的准确性取决于各种特定于实现的细节。

例如，如果每次计算都会引入半个 LSB 的误差，那么在 1000 次计算之后，结果可能会相差 500 个 LSB。因此，虽然答案会精确到 7 位，但它只能精确到 4 位。

【讨论】：

谢谢！这就是我需要的！
"在最坏的情况下，每次计算都会引入半个 LSB 的误差，因此在 1000 次计算之后，您的结果可能会相差 500 个 LSB。" - 考虑到诸如“1 LSB”在每次计算中的数量不同等因素，这是一个相当具有误导性的陈述。例如，1e20 + 14 - 1e20 通常精确到 0 位，尽管只涉及两次运算的舍入误差。
@user2357112 很公平，我已经改写了那段。大数的小差异问题确实是一个问题，但它与我试图阐明的累积小错误的问题略有不同。
最坏情况错误是一回事，错误概率密度是另一回事。对于乘法的情况，请参阅stackoverflow.com/questions/12047410/…

【解决方案2】：

答案取决于您所说的“保持精度”是什么意思。单个浮点始终具有大约 7 位的相同“精度”（由于二进制存储，它不完全是 7 位）。

某些计算可能会引入舍入误差，这可能会使最低有效位不正确，但这些误差可能会累加（如 user3386109 在他们的答案中解释）或者它们可能会被放大。放大的一个例子是，如果我正在计算 (f(x+h)-f(x))/h 形式的微积分极限，因为 h 变为零。如果f(x+0.0000001) 应该是 3.1234567，但我得到 3.1234566 和 f(x) 给出正确的 3.1234568。现在，公式应该是(3.1234567-3.1234568)/0.0000001，即-1，但我得到了(3.1234566-3.1234568)/0.0000001，即-2。

突然间，我的最低有效数字是我的最高有效数字。还有其他方法可以放大舍入误差和避免舍入误差的技术。

始终在处理非整数类型时要注意舍入错误。 Some examples of rounding error failures

【讨论】：