在 Matlab 中计算基矩阵的变化

Question

我有一个任务，我基本上需要创建一个函数，给定两个基（我将其表示为向量矩阵），它应该返回基矩阵从一个基到另一个基的变化。

到目前为止，这是我提出的函数，基于我将在接下来解释的算法：

function C = cob(A, B)
% Returns C, which is the change of basis matrix from A to B,
% that is, given basis A and B, we represent B in terms of A.
% Assumes that A and B are square matrices

n = size(A, 1);

% Creates a square matrix full of zeros 
% of the same size as the number of rows of A.
C = zeros(n);

for i=1:n
    C(i, :) = (A\B(:, i))';
end

end

这是我的测试：

clc
clear out

S = eye(3);
B = [1 0 0; 0 1 0; 2 1 1];
D = B;

disp(cob(S, B));  %  Returns cob matrix from S to B.
disp(cob(B, D));
disp(cob(S, D));

这是我根据一些笔记使用的算法。基本上，如果对于某个向量空间我有两个基B = {b1, ... , bn} 和D = {d1, ... , dn}，并且我想用基B 来表示基D，我需要找到基矩阵S 的变化。这些碱基的向量关系如下：

(d1 ... dn)^T = S * (b1, ... , bn)^T

或者，通过拆分所有行：

  d1 = s11 * b1 + s12 * b2 + ... + s1n * bn
  d2 = s21 * b1 + s22 * b2 + ... + s2n * bn
  ...
  dn = sn1 * b1 + sn2 * b2 + ... + snn * bn

请注意，d1、b1、d2、b2 等都是列向量。这可以进一步表示为

  d1 = [b1 b2 ... bn] * [s11; s12; ... s1n];
  d2 = [b1 b2 ... bn] * [s21; s22; ... s2n];
  ...
  dn = [b1 b2 ... bn] * [sn1; sn2; ... s1n];

我们称矩阵为[b1 b2 ... bn]，其列是B、A的列向量，所以我们有：

  d1 = A * [s11; s12; ... s1n];
  d2 = A * [s21; s22; ... s2n];
  ...
  dn = A * [sn1; sn2; ... s1n];

请注意，我们现在需要查找的是 sij 的所有条目 i=1...n 和 j=1...n。我们可以通过将两边左乘以 A 的倒数，即 A^(-1) 来做到这一点。

所以，S 可能看起来像这样

S = [s11 s12 ... s1n;  
     s21 s22 ... s2n; 
     ...
     sn1 sn2 ... snn;]

如果这个想法是正确的，找到基矩阵S从B到D的变化真的是我在代码中所做的。

我的想法正确吗？如果不是，有什么问题？如果是，我可以改进它吗？

Answer 1

当人们对算法有一个直观的理解时，事情会变得容易得多。

这里有两个关键点要理解：

1. C(B,B) 是单位矩阵（即，从 B 更改为 B 不做任何事情）
2. C(E,D)C(B,E) = C(B,D) ，认为这是 B -> E -> D = B -> D

1 和 2 的直接推论是

1. C(E,D)C(D,E) = C(D,D)，单位矩阵

换句话说

• C(E,D) = C(D,E)^-1

总结。 计算矩阵C(B,D)从B变为D的算法：

1. 定义C(B,E) = [b1, ..., bn]（列向量）
2. 定义C(D,E) = [d1, ..., dn]（列向量）
3. 将C(E,D) 计算为C(D,E) 的倒数。
4. 将C(B,D) 计算为乘积C(E,D)C(B,E)。

示例

B = {(1,2), (3,4)}
D = {(1,1), (1,-1)}

C(B,E) = | 1  3 |
         | 2  4 |

C(D,E) = | 1  1 |
         | 1 -1 |

C(E,D) = | .5  .5 |
         | .5 -.5 |

C(B,D) = | .5  .5 | | 1 3 | = | 1.5  3.5 |
         | .5 -.5 | | 2 4 |   | -.5  -.5 |

验证

1.5 d1 + -.5 d2 = 1.5(1,1) + -.5(1,-1) = (1,2) = b1
3.5 d1 + -.5 d2 = 3.5(1,1) + -.5(1,-1) = (3,4) = b2

这表明C(B,D) 的列实际上是b1 和b2 在基础D 中的坐标。