有效数字增加答案

【问题标题】：Significant digits increasing有效数字增加
【发布时间】：2012-02-25 11:32:07
【问题描述】：

让我们，

float dt;

我从文本文件中读取dt

inputFile >> dt;

然后我有一个for 循环，

for (float time=dt; time<=maxTime; time+=dt)
{
    // some stuff
}

当dt=0.05 和我输出std::cout << time << std::endl; 我得到了，

0.05
0.10
...
7.00001
7.05001
...

那么，为什么一段时间后位数会增加？

【问题讨论】：

顺便说一句，你可以这样设置精度：#include <iomanip>cout << setprecision(2) << time << endl;

标签： c++ significant-digits

【解决方案1】：

因为不是每个数字都可以用 IEEE754 浮点值表示。在某些时候，您会得到一个不太具有代表性的数字，计算机将不得不选择最接近的数字。

如果您在Harald Schmidt's excellent online converter 中输入 0.05 并引用Wikipedia entry on IEEE754-1985，您将得到以下位（我的解释如下）：

   s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
   0 01111010 10011001100110011001101
     |||||||| |||||||||||||||||||||||
128 -+||||||| ||||||||||||||||||||||+- 1 / 8388608
 64 --+|||||| |||||||||||||||||||||+-- 1 / 4194304
 32 ---+||||| ||||||||||||||||||||+--- 1 / 2097152
 16 ----+|||| |||||||||||||||||||+---- 1 / 1048576
  8 -----+||| ||||||||||||||||||+----- 1 /  524288
  4 ------+|| |||||||||||||||||+------ 1 /  262144
  2 -------+| ||||||||||||||||+------- 1 /  131072
  1 --------+ |||||||||||||||+-------- 1 /   65536
              ||||||||||||||+--------- 1 /   32768
              |||||||||||||+---------- 1 /   16384
              ||||||||||||+----------- 1 /    8192
              |||||||||||+------------ 1 /    4096
              ||||||||||+------------- 1 /    2048
              |||||||||+-------------- 1 /    1024
              ||||||||+--------------- 1 /     512
              |||||||+---------------- 1 /     256
              ||||||+----------------- 1 /     128
              |||||+------------------ 1 /      64
              ||||+------------------- 1 /      32
              |||+-------------------- 1 /      16
              ||+--------------------- 1 /       8
              |+---------------------- 1 /       4
              +----------------------- 1 /       2

符号为0，为正。指数由映射到左侧数字的一位表示：64+32+16+8+2 = 122 - 127 bias = -5，因此乘数为 2^-5 或 1/32。 127 偏差是允许表示非常小的数字（如接近于零而不是大的负数）。

尾数有点复杂。对于每一个位，您在右侧累积数字（在添加隐式1 之后）。因此，您可以将数字计算为{1, 1/2, 1/16, 1/32, 1/256, 1/512, 1/4096, 1/8192, 1/65536, 1/131072, 1/1048576, 1/2097152, 1/8388608} 的总和。

当你把所有这些加起来，你会得到1.60000002384185791015625。

当您将乘以乘数 1/32（之前从指数位计算）时，您会得到 0.0500000001，因此您可以看到 0.05已经 em> 未准确表示。尾数的这个位模式实际上与0.1 相同，但是，指数是-4 而不是-5，这就是为什么0.1 + 0.1 + 0.1 很少等于0.3（这似乎是一个最喜欢的采访问题）。

当您开始将它们相加时，该小错误会累积，因为您不仅会在 0.05 本身中看到错误，而且在累积的每个阶段也可能会引入错误 - 并非所有数字 @987654338 @、0.15、0.2 等都可以精确表示。

最终，如果您使用默认精度，错误会变得足够大，以至于它们会开始显示在数字中。您可以通过以下方式选择自己的精度来将其推迟一点：

#include <iostream>
#include <iomanip>
:
std::cout << std::setprecison (2) << time << '\n';

它不会修复变量值，，但它会在错误变得可见之前给你一些喘息的空间。

顺便说一句，有些人建议避免使用std::endl，因为它会强制刷新缓冲区。如果您的实现自己运行，那么当您发送换行符时，终端设备就会发生这种情况。如果您已将标准输出重定向到非终端，您可能不希望在每一行上刷新。与您的问题并不真正相关，并且在绝大多数情况下可能不会产生真正的影响，只是我想我会提出这一点。

【讨论】：

【解决方案2】：

IEEE 浮点数使用二进制数系统，因此无法准确存储十进制数。当您将其中的几个加在一起时（有时只需两个就足够了），表示错误会累积并变得可见。

【讨论】：

【解决方案3】：

某些数字无法使用浮点数或以 2 为底的数字精确表示。如果我没记错的话，其中一个数字是十进制 0.05（以 2 为底的结果是 infinitely 重复小数）。另一个问题是，如果您将浮点数打印到文件（作为基数 10 的数字）然后读回，您可能会得到不同的数字 - 因为基数不同，这可能会导致在将小数 base2 转换为小数 base10 时出现问题。

如果您想要更高的精度，您可以尝试搜索 bignum 库。不过，这将比浮点数慢得多。处理精度问题的另一种方法是尝试将数字存储为带有数字/分母的“公共分数”（即 1/10 而不是 0.1，1/3 而不是 0.333 ......等等 - 甚至可能有库，但是我没听说过），但这不适用于像 pi 或 e 这样的无理数。

【讨论】：