Sympy 求解的 ODE 不满足给定的初始条件答案

【问题标题】：Solved ODE by Sympy doesn't satisfy the given initial conditionSympy 求解的 ODE 不满足给定的初始条件
【发布时间】：2021-08-24 02:35:38
【问题描述】：

我正在尝试使用 Sympy 中的 dsolve 函数解决以下简单的 ODE

v = sp.Function('v', real=True)
t, g, m, c = sp.symbols('t g m c', positive=True, real=True)
eq = sp.Eq(v(t).diff(t), g - c/m*v(t)**2)
sol = sp.dsolve(eq, v(t), ics={v(0):0})

结果并不像预期的那么简单，但奇怪的是，如果您检查解决方案以确保满足给定的初始条件，它不会返回正确的结果 (v(0)=0)，因为传入dsolve by ics 参数。

sol.subs(t,0)

【问题讨论】：

你使用什么版本的 sympy，print(sympy.__version__)？您的版本中的文档是否保证 ics 参数将在解决方案中使用？请参阅stackoverflow.com/questions/41192748/… 和相关人员。
@Lutz Lehmann，感谢您的关注。我正在使用最新版本。 ics 参数现在功能齐全。
看起来像一个 sympy 错误。它无法用新的常数替换复合常数。此外，它过早地简化为 1/tanh，这会阻止在时间为零的合理表达式。如果滥用复数对数，给定的解决方案仍然可能是正确的，但这不是必需的。

标签： sympy ode

【解决方案1】：

替换u=c/m*v 和c/m*g=a^2 得到等式u'=a^2-u^2，它是可分离的并导致

log|u+a|-log|u-a| = 2*a*t+c

这应该转化为

(u+a)/(u-a) = C*exp(2*a*t)

u = a*(C*exp(2*a*t)+1)/(C*exp(2*a*t)-1)

那么初始条件导致C=-1 和u(t)=a*tanh(a*t)。

由于 sympy 解决方案中的常数显然没有从指数中删除，并且绝对值向负号的分辨率也显然没有遵循，sympy 最终得到c=log(-1)/2 的变化，这在实数上的等式的上下文。 -1 也位于复数的通常分支上，这使得这更加不确定。在实际解决方案中发现log((-1)**sqrt(m)) 不是一个定义明确的表达式。

【讨论】：

【解决方案2】：

问题是dsolve找到了通用解决方案：

In [41]: sol
Out[41]: 
                      √g⋅√m               
v(t) = ───────────────────────────────────
              ⎛             ⎛ C₁⋅√c⋅√g⋅m⎞⎞
              ⎜          log⎝ℯ          ⎠⎟
              ⎜√c⋅√g⋅t - ────────────────⎟
              ⎜                 2        ⎟
       √c⋅tanh⎜──────────────────────────⎟
              ⎝            √m            ⎠

在尝试解决C1 之前，最好应用一些恒定的简化：

In [42]: [logterm] = sol.atoms(log)

In [43]: C1 = Symbol('C1')

In [44]: sol2 = sol.subs(logterm, C1)

In [45]: sol2
Out[45]: 
                √g⋅√m         
v(t) = ───────────────────────
              ⎛  C₁          ⎞
              ⎜- ── + √c⋅√g⋅t⎟
              ⎜  2           ⎟
       √c⋅tanh⎜──────────────⎟
              ⎝      √m      ⎠

In [46]: [c] = solve(sol2.rhs.subs(t, 0), C1)

In [47]: c
Out[47]: ⅈ⋅π⋅√m

In [48]: sol2.subs(C1, c)
Out[48]: 
                 √g⋅√m          
v(t) = ─────────────────────────
              ⎛          ⅈ⋅π⋅√m⎞
              ⎜√c⋅√g⋅t - ──────⎟
              ⎜            2   ⎟
       √c⋅tanh⎜────────────────⎟
              ⎝       √m       ⎠

In [49]: sol2.subs(C1, c).simplify()
Out[49]: 
                 ⎛√c⋅√g⋅t⎞
       √g⋅√m⋅tanh⎜───────⎟
                 ⎝   √m  ⎠
v(t) = ───────────────────
                √c

也许实际上最好在求解过程的早期阶段求解常数。可能在纸笔上，一旦积分发生并且方程仍处于隐式形式时，求解常数是有意义的。

【讨论】：