多项式求根二分法答案

【问题标题】：Polynomial Root finding bisection多项式求根二分法
【发布时间】：2012-01-14 22:56:39
【问题描述】：

如果我使用二分法找到多项式的根，并且在某些情况下取决于多项式，根可能是负数，也可能是正数。

我知道我可以根据评估多项式的结果来确定根是负数还是正数……但是我不确定我会使用什么作为 x。

任何人都可以在这里提供任何见解吗？

【问题讨论】：

这类问题听起来更适合 Math.SE，甚至 SciComp.SE。

标签： algorithm math bisection

【解决方案1】：

根可以是负数或正数这一事实与二分法无关。可以使用微积分中的intermediate value theorem 来证明根的存在。

所以你所要做的就是找到点x1 和x2，这样y(x1) 是负数，y(x2) 是正数。然后你从 IVT 中知道x1 和x2 之间有一个根。您可以通过在该间隔上进行二进制搜索来做到这一点。如果y(x3) = y((x1+x2)/2) 为负数，则在区间[x3,x2] 上重复二分搜索。否则，如果是肯定的，则搜索区间[x1,x3]。

根是负数还是正数都没有关系。我不确定这是否能回答你的问题，但我希望能帮助你理解算法。

【讨论】：

当然，不是所有的多项式都有（实）根；例如，1 + x^2。还有一些具有实根的多项式（例如 x^2）永远不会改变符号。

【解决方案2】：

许多根查找器允许用户提供一个或多个起点来开始搜索。这允许用户尝试“调整”结果以找到不同的根或允许查找器收敛到一个根。

如果允许用户提供起始值没有意义，您可以从探索几个点开始：

-1, 0, 1
-10, 0, 10
-100, 0, 100
等

如果输入是一个奇数多项式，这最终会找到一个合适的二分范围。如果输入是偶数多项式，您可能永远不会发现符号变化（考虑 f(x)=x^2 - 它永远不会是负数），所以准备好在经过一定的（可配置的？）探测后放弃。

我建议在这里将范围扩大 10 次方；由于二分法每次将范围减半，也许这太保守了。（二等分的迭代需要两到三次迭代才能将范围缩小到下一个“更紧”的括号。）也许更好的是更大的跳跃：

-10, 0, 1
-1000, 0, 1000
-100000, 0, 100000
等

这将执行更少的探测，但需要更多的二等分。尝试一些多项式并跟踪执行时间，以找到两个建议的根。

【讨论】：

【解决方案3】：

您可能会发现这很有帮助。

使用系统；

命名空间 Bisection_Method

{

class Program

{

    public double midPoint (double xl, double xu)

{

    return (xl + xu) / 2;

}

    public double function(double x)

    {

        return (x*x-2);

    }

    static void Main(string[] args)

    {

        Program root = new Program();

        double xm=0, xl=1, xu=2, check=0;

        for (int x = 0; x < 20; x++)

        {

            xm = (xl + xu) / 2;

            check = root.function(xl) * root.function(xm);

            if (check < 0)

                xu = xm;

            else if (check > 0)

                xl = xm;

            else if (check == 0)

            {

                break;

            }

        }

        Console.WriteLine("The Approximate of the Root is {0}", xm);

    }

}

}

http://mustafa.amnbytes.com/2012/09/bisection-method-program-in-c.html

【讨论】：

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这里有完整的程序！

【解决方案4】：

为了使用二分算法，您首先需要找到一个包含根的区间。标准算法在Sturm's Theorem 中给出。

但是，标准二分算法期望端点中函数值的符号不同。这可能是个问题。最简单的例子是 x^2，它具有 2 阶的单个根 0。由于 x^2 对所有非零 x 都是正数，因此您无法找到适合与二分算法一起使用的包含根的区间。

【讨论】：