haskell中函数的双函子在哪里？答案

【问题标题】：Where is the bifunctor for functions in haskell?haskell中函数的双函子在哪里？
【发布时间】：2018-07-18 08:09:52
【问题描述】：

我找不到 fmap 的双函子模拟。

解释：

对象的函子 - 数据类型构造函数。类型 - a -> f a

函数的函子 - fmap。类型 - (a -> b) -> (fa -> fb)

对象的双函子 - bimap f g 的结果，其中f :: (a -> a')，g :: (b -> b')。类型 - p a b -> p a' b'

函数的双函子 - ?。类型 - p (a -> b) (c -> d) -> p (a' -> b') (c' -> d')

这就是为什么我认为双函子有这种类型（对吗？）并举个例子

更新

更新2

上图中的p (a -> b) (c -> d) -> p (a' -> b') (c' -> d')是双函子到双函子的态射，也是profunctor（因为所有的函数都是profunctor）

总结：

我认为p (a -> b) (c -> d) -> p (a' -> b') (c' -> d') 是函数的双函子，但事实并非如此。态射的双函子是bimap. Type: (a -> b) -> (α -> β) -> p a α -> p b β.

我认为p (a -> b) (c -> d) -> p (a' -> b') (c' -> d') 是不寻常的东西，但它不是，它只是功能

【问题讨论】：

一个函数是一个profunctor，它在参数上是逆变的（contramap），在返回类型上是协变的（fmap）。它被称为dimap：dimap :: (a -> b) -> (c -> d) -> p b c -> p a d。对于箭头类型：(a -> b) -> (c -> d) -> (b -> c) -> a -> d (hackage.haskell.org/package/profunctors-5.3/docs/…)
@YuvalItzchakov 按照我的例子，如何使用dimap 获得(Int, Float) -> (Id Int, Id2 Float) 类型的函数？
如果我的理解正确的话，我认为标题可能会有点误导。我认为您是在说：任何函子都有两个“部分”，一个类型级部分（您称其为“对象的函子”，但我绝对建议说类型级）和值级部分（这是fmap) 并且您正在询问双函子的价值级别部分是什么。你问的是这个吗？（顺便说一句，如果是，“对象的函子”部分是不正确的。它处于类型级别，您正在谈论数据构造函数，如果我解释正确，它们是值级别）。
再读一遍，我不太确信我之前阅读问题的方式是正确的。也许你可以稍微改写一下？您提到的所有内容具体是什么意思（例如 Id 和 Id2 以及类型签名 p (a -> b) (c -> d) -> p (a' -> b') (c' -> d') 与您要询问的其他内容有什么关系）？
@DavidYoung re what relation - 图片上有

标签： haskell category-theory

【解决方案1】：

对象的函子 - 数据类型构造函数。类型 - a -> f a

函数的函子 - fmap。类型 - (a -> b) -> (fa -> fb)

虽然这具有广泛的意义，但重要的是要意识到上面的箭头具有三种不同的含义。

对象的函子 - 数据类型构造函数。类型 - a ⟼ f a

函数的函子 - fmap。类型 - (a ⟿ b) ⟶ (f a ⟿ f b)

在哪里

⟼ 是一个类型级别的“映射到符号”，它将a 类型与f a 类型相关联。这不与域为a 和codomain f a 的值级函数有任何关系。（这些可以在 applicatives/monads 中找到，但那是另一回事。）
⟿ 是一些态射的类型构造函数。在 Hask 类别中，这些态射恰好是 Haskell 函数，但这只是一种特殊情况。
⟶ 是一个实际的函数类型构造函数。

您现在可能忘记了后两者之间的区别，但 ⟼ 和 ⟶ 在概念上确实完全不同^†。基本上，⟼ 就像你在 lambda

中写的箭头

Maybe :: Type -> Type
Maybe = \a ⟼ Maybe a

而⟶ 只是一种表达你对函数事物进行抽象的方式。

另一个可能不清楚的相关事情是您正在谈论的对象是Haskell类型。不是值（就像 OO 对象一样）。

所以，我会这样写你上面给出的清单：

函子
- 对于对象：数据类型构造函数。种类Type -> Type，映射关联a ⟼ f a。
- 对于态射：fmap。类型：(a -> b) -> (f a -> f b)。
双函子
- 对于对象：数据类型构造函数。种类Type×Type -> Type，或咖喱Type -> Type -> Type，映射关联a ⟼ b ⟼ p a b。
- 对于态射：bimap。类型：(a -> b) -> (α -> β) -> p a α -> p b β。

^†_{实际上，Haskell 没有⟼ 或者你用a -> f a 写的东西。这将是一个类型级别的 lambda，但类型级别的函数实际上只能表示为类型族，即最接近表达 a ⟼ f a 的是 type instance Functored a = f a。}

【讨论】：

@WillNess 它实际上是从问题中复制而来的。不确定这是故意的；在这一点上将f a 视为“原子”类型可能有点意义。但是，没有多大意义，我想我会改变这一点。
我已经更新了图片，但是我还是不明白p (a -> b) (c -> d) -> p (a' -> b') (c' -> d')是怎样的profunctor，尤其是p是(,)的时候。按照我的示例，如何使用 dimap 获取类型为 (Int, Float) -> (Id Int, Id2 Float) 的函数
@srghma functors 有 fmap ([x]-f-)，bifunctors 有 bimap ([x,y]-(f,g)-)，profunctors 有 dimap (-f-[x-y]-g-)。
@WillNess 对不起，前面的评论应该写成：我已经更新了图像，但我仍然不明白我的第二个图像的态射是如何具有@987654364 类型的@ 是 profunctor（正如@YuvalItzchakov 指出的那样），尤其是当p 是(,) 时。在有问题的图像上，我为图形的某些部分提供了示例。按照这个例子，这个态射应该有类型(Int, Float) -> (Id Int, Id2 Float)，但我不明白如何使用dimap得到这个类型
@srghma 您使用 bimap 作为 chepner 的答案来执行此操作。函数本身可以被视为 profunctor，或用于实现 bifunctor（例如）行为，例如 bimap。（IOW 你可以忽略那条评论，我认为这与这里无关。）

【解决方案2】：

(->) 不需要 Bifunctor 实例，只需 (,)：

b1 :: a -> Id a
b2 :: a -> Id2 a

-- instance Bifunctor (,) where
--   bimap f g (x, y) = (f x, g y)

f :: (Int, Float) -> (Id Int, Id2 Float)
f = bimap b1 b2

【讨论】：