在 Gurobi 中添加二进制变量答案

【问题标题】：Adding binary variable in Gurobi在 Gurobi 中添加二进制变量
【发布时间】：2019-03-17 11:33:27
【问题描述】：

所以我想在i 和j 之间的距离小于或等于150 和z[i, j] = 0 时添加一个二进制变量z 其中z[i, j] = 1。我有一个列表c，其中每个c[i][j] 代表i 和j 之间的距离。我当然不能将z 设置为下面的普通二进制变量：

y = m.addVars(I, J, vtype=GRB.BINARY, name="assign")

我想添加约束：

# One day mailing
m.addConstrs(
    z[i,j] <= y[i,j] for i in I for j in J,
    "Serve")

# Coverage Constraint
m.addConstr(
   quicksum(h[i] * z[i, j] for i in I for j in J) <= 
        0.9 * quicksum(h[i] * y[i, j] for i in I for j in J),
        "Cover")

其中h 是一个整数列表。如何设置z？

【问题讨论】：

标签： python linear-programming gurobi integer-programming

【解决方案1】：

首先您需要将z 添加为二进制变量：

z = m.addVars(I, J, vtype=GRB.BINARY, name="z")

那么你需要约束来确保z[i, j] = 1当且仅当c[i, j] <= 150。一种方法是使用指标约束：

z = 1 -> c <= 150
z = 0 -> c >= 150

这相当于

c > 150 -> z = 0
c < 150 -> z = 1

您按如下方式添加这些：

m.addConstrs((z[i, j] == 1) >> (c[i][j] <= 150) for i in I for j in J)
m.addConstrs((z[i, j] == 0) >> (c[i][j] >= 150) for i in I for j in J)

您也可以自己显式地建模：如果c[i][j] - 150 的值有M 和m 的上限和下限（即，所有i, j 的M >= c[i][j] - 150 >= m），则可以使用以下约束：

M * (1-z) >= c - 150
m * z <= c - 150

如果c > 150，则两个不等式的右侧都是正数。然后第一个强制1 - z = 1，因此强制z = 0。第二个不等式将很容易得到满足。

如果c < 150，则右侧为负数。第一个不等式变得微不足道，而第二个不等式强制z = 1。

对于M，c 中的最大输入数可以，对于m，如果所有c[i][j] 都是非负数，您可以选择-150。

您可以按如下方式添加这些约束：

m.addConstrs( M * (1 - z[i, j]) >= c[i][j] - 150 for i in I for j in J )
m.addConstrs( m * z[i,j] <= c[i][j] - 150 for i in I for j in J )

请注意，我忽略了c = 150 的情况。这是因为对于浮点数，等式总是只被认为在公差范围内得到满足，因此没有简单的方法来区分严格和非严格的不等式。您可以使用 epsilon 来近似此值，例如：

z = 0 -> c >= 150 + epsilon

【讨论】：