纸浆：如何构建这个工厂覆盖率问题

Question

努力在 PuLP 中为以下 MIP 场景制定目标函数。

每个城市都有 N 人居住。
各厂址 可以方便一组城市。
尽量减少工厂数量 打开，这样促成的人数>= 4000

我的主要问题是不同的工厂可以为同一个城市提供服务。因此，将每个工厂的可服务人口总数相加并单独考虑是不公平的。

cities = ['London', 'Paris', 'Berlin', 'Amsterdam', 'Vienna', 'Prague']
factories = ['A', 'B', 'C', 'D']

city_populations = {'London': 898, 'Paris': 222, 'Berlin': 767, 'Amsterdam': 111, 'Vienna': 854, 'Prague': 908}

factories_service = {'A': ['London', 'Prague'], 'B': ['London', 'Paris', 'Vienna'], 'C': ['Amsterdam', 'Vienna', 'Prague'], 'D': ['London', 'Vienna', 'Prague']}

这是我目前所拥有的，但它不正确，因为它只选择最大的城市，而不考虑人口重叠。

prob = pl.LpProblem("Factory Coverage",pl.LpMinimize)
​
decision_vars = pl.LpVariable.dicts("Factories", factories, cat='Binary')
​
prob += pl.lpSum(decision_vars)
prob += pl.lpSum([sum([city_populations[x] for x in factories_service[i]])*decision_vars[i] for i in factories]) >= 4000
​
​
prob.solve()

输出：
工厂_A, 0.0
工厂_B, 1.0
工厂_C, 0.0
工厂_D，1.0

Answer 1

主要问题是您重复计算了人口。如果两个工厂服务于同一个城市，并且都建成了，那么该城市的人口应该只计算一次服务。

您可以通过为城市创建另一组二进制变量来完成此操作，指示该城市是否得到服务。然后添加逻辑，确定只有在有工厂为城市提供服务的情况下才能为城市提供服务。

您遇到的另一个小问题是，自 sum(city_populations.values()) == 3760 以来，您的整个模型中没有 4000 个公民

这是一个如何解决此问题的示例，尽管它不是最有效的实现：

prob = pl.LpProblem("Factory Coverage",pl.LpMinimize)

factories_vars = pl.LpVariable.dicts("Factories", factories, cat='Binary')
cities_vars = pl.LpVariable.dicts("Cities", cities, cat='Binary')

# Objective function
prob += pl.lpSum(factories_vars)
# Population served is greater than 4000
prob += pl.lpSum([city_populations[c]*cities_vars[c] for c in cities]) >= 2000
# City is served only if there is a factory that serves it
bigM = len(factories)
for c in cities:
    prob +=  bigM * cities_vars[c] >= pl.lpSum([factories_vars[f] for f in factories_vars if c in factories_service[f]])
    prob +=  cities_vars[c] <= pl.lpSum([factories_vars[f] for f in factories_vars if c in factories_service[f]])

prob.solve()

结果：

for f in factories_vars:
    print(f, factories_vars[f].value())
for c in cities_vars:
    print(c, cities_vars[c].value())

A 0.0
B 0.0
C 0.0
D 1.0
London 1.0
Paris 0.0
Berlin 0.0
Amsterdam 0.0
Vienna 1.0
Prague 1.0