取决于连续变量的二进制变量（cplex 中的混合整数编程）答案

【问题标题】：binary variable depending on a continuous variable (mixed integer programming in cplex)取决于连续变量的二进制变量（cplex 中的混合整数编程）
【发布时间】：2022-01-05 23:32:29
【问题描述】：

我正在尝试为涉及二进制变量 v 和连续变量 i 的 MIP 问题制定一个约束，例如：

如果 i = 0，v = 0，并且如果 i > 0，v = 1

我还没有想到解决方案，我不确定是否有解决方案。非常感谢任何建议。谢谢！

【问题讨论】：

标签： constraints cplex mixed-integer-programming

【解决方案1】：

您可以依赖逻辑约束。在 OPL 中你可以写

dvar boolean v;
dvar float+ i;

subject to
{
  v==!(i==0);
}

你也可以用all CPLEX APIs做同样的事情

【讨论】：

【解决方案2】：

您还可以使用“传统”Big-M 公式对此进行建模，该公式在互联网上的许多地方和许多教科书中都有记载。

通常这是在一对这样的约束中完成的：

i <= M * v

如果 v 为零，则强制 i 为零，如果 i 不为零，则 v 必须为 1，这满足了您的大部分要求，但仍然允许 i = 0 和 v = 1。在许多情况下，目标试图最小化包括 v 在内的一些表达式，这可能足以在 i=0 时鼓励 v=0。但是不要陷入对 M 使用非常大的值的愚蠢错误，因为这会对您的线性松弛和可能的整体性能产生不利影响。

如果 i 为零，您可能还需要添加进一步的约束以强制 v 为零，例如：

v <= i

如果 i 为零，则直接将 v 强制为零。

【讨论】：

非常感谢。这行得通！