模块化分区

Question

给定一个非负整数列表，比如 a₀,a₁,a₂, . . . ,a_n 和一个常数正整数 m。我们想要生成所有形式为 a'₀,a'₁,a'₂, 的非负整数列表。 . . ,a'_n 使得：

1. 存在一个 i 满足 a_i ≠ a'_i。
2. 对于所有 i，我们有 a_i ≥ a'_i
3. a₀ + a₁ + a₂ + 。 . . + a_n - a'₀ - a'₁ - a'₂ - 。 . . - a'_n 是 m 的倍数

就时间而言，什么是最好的java算法。我尝试了两种不同的方法。

1. 对于介于 0 和 a_is 之和之间的所有 km：首先将 km 的所有分区生成 n 个部分。对于这些分区中的每一个，从原始整数序列中逐个减去它。如果所有分量都是非负数，则结果列表有效。
2. 生成所有较小的位置并检查它们是否满足条件 3。

令人惊讶的是，我的第二个想法比第一个想法快得多，但仍然相当慢。我应该如何处理这个？这个问题与Generating the partitions of a number的精神相似。

Answer 1

这可以使用动态规划在多项式时间内O(nm²)解决。

令 f (i, r) 为构建序列 a'₀, a'₁, .. ., a'_i 这样

(a₀ + a₁, ... + a_i - a'₀ - a '₁ - ... - a'_i) mod m = r.

第一个参数的选择是显而易见的：我们将从左到右查看序列，并记录序列前缀的结果。 第二个参数是我们目前对 m 取模的余数，因为为了构建所有可能的序列，我们必须考虑其间所有可能的余数，而不仅仅是零。

要计算f (i, r)，我们需要考虑(a_i - a'_i) 的可能选择mod m 并使用之前计算的 f (i - 1, *)。

• 如果 (a_i - a'_i) mod m = 0，则有 u = [a_i / m] + 1 个这样的选择 a'_i：这些是 a_i， a_i - m, a'_i - 2 m, ..., a'_i - u m。 因此，我们必须将 ([a_i / m] + 1) * f (i - 1, r) 添加到我们的答案中：对于每个长度为 i - 1 且总余数为 r 的可能答案，我们可以选择 [a_i / m em>] + 1 个可能的 a'_i 值，使得新序列的总余数也是 r。

• 如果 (a_i - a'_i) mod m = m - 1,有 v = [(a_i - 1) / m] + 1 这样的选择 a'_i : 这些是 a_i - 1, a_i - 1 - m, a'_i - 1 - 2 m, ..., a'_i - 1 - v m。 所以，我们必须加上 ([(a_i - 1) / m] + 1) * f (i - 1, (r + m - 1) mod m) 到我们的答案：对于长度为 i - 1 的每个可能的答案，总余数 (r + m - 1) mod m，我们可以选择 [(a_i - 1) / m] + 1 个可能的 a'_i 使得新序列的总余数现在是 r。

• ...

• 如果 (a_i - a'_i) mod m = 1，则有 w = [(a_i - (m - 1)) / m] + 1 个这样的选择 a'_{i sub>：这些是ai - (m - 1), ai - (m - 1) - m, a'i - (m - 1) - 2 m, ..., a'i - (m - 1) - w m。 所以，我们必须加上 ([(ai - (m - 1)) / m] + 1) * f ( i - 1, (r + 1) mod m) 得到我们的答案：对于长度为 i - 1 的每个可能答案，总余数 ( r + 1) mod m，我们可以选择 [(ai - (m - 1)) / m] + 1 个可能的 a'i 值，使得新序列的总余数现在是 r。}

  李>

总结一下，

f (i, r) = sum {by s = 0 to m - 1} of ([(a _i - s) / m] + 1) * f (i - 1, (r + m - s) mod m) em>。

我们对所有 i 和所有 r 都这样做。 基数将是 f (-1, 0) = 1 （有一个空序列，总余数为 0）和 f (-1, t) = 0 对于 t > 0（不存在总余数 > 0 的空序列）。 答案将是 f (n, 0)（序列数 a'₀, a'₁, ..., a' _i 余数为 0)。

在实现时，注意将整数除法四舍五入并取非负模：在接近 CPU 的语言中（如 C 或 C++ or even Java），整数除法和余数计算默认舍入为零，因此-1 / 2 的整数结果将是 0 和 -1 mod 2 将是 -1，当我们分别需要 -1 和 1 时。