根据与长轴或短轴的角度找到椭圆的半径答案

【问题标题】：Finding the radius of an ellipse based on its angle from major or minor axis根据与长轴或短轴的角度找到椭圆的半径
【发布时间】：2013-06-16 04:00:40
【问题描述】：

我正在使用 UE3 并正在制作我的 HUD。我已经在画布上完成了它，并且有一个圆形按钮 - 问题是在不是方形的屏幕上，按钮是一个椭圆形。因此，这会导致检测鼠标是否“悬停在”按钮上的问题。

这是因为整个椭圆的半径不同，圆的情况也是如此。

我的下划线问题是：

如果我知道，我如何计算椭圆相对于一点（鼠标位置）的半径：

长轴和短轴的半径
与点（鼠标位置）的轴（主要和次要）的角度

【问题讨论】：

你不需要弄脏角度。写下椭圆公式x^2/a^2+y^2/b^2=1，想一想。
我没有椭圆公式 - 关键是如果我可以使用角度来做到这一点，我可以动态地做到这一点，无论日食的公式如何，这可能会根据按钮而改变尺寸和屏幕尺寸（除其他外）
“我没有椭圆公式”是什么意思？你在维基百科上查一下，我已经把它写下来以防万一。
啊抱歉，我错过了阅读和思考特定椭圆的图形公式

标签： algorithm graphics geometry

【解决方案1】：

在椭圆以原点为中心且长轴和短轴分别平行于 x 轴和 y 轴的简单情况下，椭圆可以通过方程 x = a cos(t) 和 y = b sin(t) 进行参数化，其中a 和 b 是长轴和短轴，t 是从 0 到 2pi 变化的角度。所以在这种情况下，要回答你的问题，角度 t 的半径是

r = sqrt( x^2 + y^2 ) = sqrt( a^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t) )

现在，这可以通过以下方式变得更复杂

(i) 椭圆不在 (0,0) 处居中

(ii) 长轴和短轴不平行于 x 轴和 y 轴，因为长轴与正 x 轴形成角度 t0。

(iii) (i) 和 (ii) 的组合。

但是，通过正确的修改，上述解决方案也可以应用于这些情况。对于 (i)，从上面等式中的 x 和 y 中减去中心，以获得中心点的半径。对于 (ii)，上述等式适用于变量 x',y'，其中 (x',y')^T = R(t0) (x,y)^T 其中 R(t0) 是 rotation matrix它正确地定位了椭圆。因此，为 x' 和 y' 形成上面的方程，然后通过求解上面的矩阵方程来替换 x 和 y 的表达式。

【讨论】：

所有这些三角函数都是多余的。参数曲线方程不是您可以使用的唯一类型。
是的，但 OP 想要以参数（角度）的形式给出答案，因此使用了参数方程。
OP 有像素坐标。这是一个显示器。从角度思考只是偏离了方向。

【解决方案2】：

轴对齐椭圆方程（我很确定你的椭圆是轴对齐的，也就是说，你的显示矩阵没有倾斜）：

((x-x₀)/a)² + ((y-y₀)/b)² = 1

椭圆以 (x₀, y₀) 为中心，其半轴为 a 和 b。

如果等式成立，则点 (x,y) 在椭圆上。将=1 替换为<1，您将得到(x,y) 位于椭圆内的条件。

【讨论】：