如何生成一组在 D 维单位立方体/球体中均匀分布的 K 点

Question

我正在尝试生成一组均匀分布在内部固定空间的 K 点，我认为单位球体或立方体是最简单的。对于二维来说，这很容易，但不幸的是，当我们上升到任意维度 D 时，这要困难得多。

我认为这是在“准蒙特卡洛方法”中完成的，但我一直找不到公式，甚至找不到关于这是否是一个易于处理的问题的声明。任何输入将不胜感激。

Answer 1

要了解计算最佳情况“并非微不足道”，请参阅论文 Dense Packings of Equal Spheres in a Cube，该论文解决了 3D 立方体中点的子情况：它具有精确解和最多 28 个点的“最知名”解。

它确实提供了一种算法来找到这些最佳间隔配置，他们称之为“随机台球”过程。但是我不知道这是否可以适应球体、更高维度或更多的点。

看起来更一般情况的某些方面可能会在书 Finite Packing and Covering 中介绍 - （我没有副本，因此无法验证。）

2D 案例更容易处理，您可以在维基百科上查看the square 和the circle 的更多详细信息。

Answer 2

这取决于您所说的“均匀”是什么意思。一种方法是随机定位这些点，然后使用牛顿运动方程的数值积分器模拟阻尼介质中的粒子运动，其中粒子和边界相互排斥。这当然允许任何边界形状。

Answer 3

我不确定我是否完全理解您的问题，但这是我的尝试。

public static List<int[]> getEvenSpacedPoints(int x0, int x1, int y0,
        int y1, int z0, int z1, int samplePerSide) {

    List<int[]> list = new ArrayList<>();
    int xSpacing = (x1 - x0) / samplePerSide;
    int ySpacing = (y1 - y0) / samplePerSide;
    int zSpacing = (z1 - z0) / samplePerSide;

    for (int i = 0; i < samplePerSide; i++) {
        for (int j = 0; j < samplePerSide; j++) {
            for (int w = 0; w < samplePerSide; w++) {
                int xPoint = xSpacing * i;
                int yPoint = ySpacing * j;
                int zPoint = zSpacing * w;
                int[] point = new int[] { xPoint, yPoint, zPoint };
                list.add(point);
            }
        }

    }
    return list;
}

和

List<int[]> setOfSamplesFromCube = getEvenSpacedPoints(0, 10, 0, 10, 0,
            10, 5);
    for (int[] point : setOfSamplesFromCube) {
        String ret = "";
        for (int value : point) {
            ret += value + ",";
        }
        System.out.println(ret);
    }

输出：

0,0,0,
0,0,2,
0,0,4,
0,0,6,
0,0,8,
0,2,0,
0,2,2,
0,2,4,
0,2,6,
0,2,8,
0,4,0,
0,4,2,
0,4,4,
0,4,6,
0,4,8,
0,6,0,
0,6,2,
0,6,4,
0,6,6,
0,6,8,
0,8,0,
0,8,2,
0,8,4,
0,8,6,
0,8,8,
2,0,0,
2,0,2,
2,0,4,
2,0,6,
2,0,8,
2,2,0,
2,2,2,
2,2,4,
2,2,6,
2,2,8,
2,4,0,
2,4,2,
2,4,4,
2,4,6,
2,4,8,
2,6,0,
2,6,2,
2,6,4,
2,6,6,
2,6,8,
2,8,0,
2,8,2,
2,8,4,
2,8,6,
2,8,8,
4,0,0,
4,0,2,
4,0,4,
4,0,6,
4,0,8,
4,2,0,
4,2,2,
4,2,4,
4,2,6,
4,2,8,
4,4,0,
4,4,2,
4,4,4,
4,4,6,
4,4,8,
4,6,0,
4,6,2,
4,6,4,
4,6,6,
4,6,8,
4,8,0,
4,8,2,
4,8,4,
4,8,6,
4,8,8,
6,0,0,
6,0,2,
6,0,4,
6,0,6,
6,0,8,
6,2,0,
6,2,2,
6,2,4,
6,2,6,
6,2,8,
6,4,0,
6,4,2,
6,4,4,
6,4,6,
6,4,8,
6,6,0,
6,6,2,
6,6,4,
6,6,6,
6,6,8,
6,8,0,
6,8,2,
6,8,4,
6,8,6,
6,8,8,
8,0,0,
8,0,2,
8,0,4,
8,0,6,
8,0,8,
8,2,0,
8,2,2,
8,2,4,
8,2,6,
8,2,8,
8,4,0,
8,4,2,
8,4,4,
8,4,6,
8,4,8,
8,6,0,
8,6,2,
8,6,4,
8,6,6,
8,6,8,
8,8,0,
8,8,2,
8,8,4,
8,8,6,
8,8,8,

这包括起点（如果想省略，则从 1 开始循环）并且“简单”，因为我传递给它的立方体有很好的边可以被 5 整除，否则整数除法会破坏这一点，但你可以看到如何轻松更改它以返回双重列表。

我将开始尝试 D 维案例..

Answer 4

让我们考虑立方体，因为它更容易（我最初说容易，哈哈）。我认为这就是您想要的（3D 格式）：

一边的点数是n = floor(K^1/D)。那么点之间的间距是 1 / (n - 1)，假设角和边都包括在内。我打算为这种网格方法提供一些代码，但它非常难看，而且解决方案也不理想。