使用 Monte Carlo 查找 PI 数字答案

【问题标题】：Finding PI digits using Monte Carlo使用 Monte Carlo 查找 PI 数字
【发布时间】：2009-06-11 17:10:29
【问题描述】：

我已经尝试了许多算法来使用蒙特卡洛找到 π。解决方案之一（在 Python 中）是这样的：

def calc_PI():
    n_points = 1000000
    hits = 0

    for i in range(1, n_points):
        x, y = uniform(0.0, 1.0), uniform(0.0, 1.0)

        if (x**2 + y**2) <= 1.0:
            hits += 1

    print "Calc2: PI result", 4.0 * float(hits) / n_points

可悲的是，即使是 1000000000，精度也非常差（3.141...）。

这是此方法可以提供的最大精度吗？我选择蒙特卡洛的原因是它很容易在平行部分中分解。有没有另一种易于分解计算的 π 算法？

【问题讨论】：

标签： python statistics montecarlo pi

【解决方案1】：

这是蒙特卡洛的经典例子。但是，如果您想将 pi 的计算分解为并行部分，为什么不直接使用无限级数并让每个核心取一个范围，然后将结果求和？

http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html

【讨论】：

这是我的第一个方法。但我想玩一点蒙特卡洛，因为它可以用于许多领域。
在难以找到公式时使用 Monte Carlo。在容易找到公式时使用公式。

【解决方案2】：

您的小数误差为sqrt(N)/N = 1/sqrt(N)，因此这是一种非常低效的精确估算方法。这个限制是由测量的统计性质设定的，不能被超越。

对于N throws，您应该能够获得大约floor(log_10(N))/2-1 的高精度数字。也许-2只是为了安全...

即使它假设您使用的是真正的 RNG 或足够好的 PRNG。

【讨论】：

【解决方案3】：

使用准随机数生成器 (http://www.nag.co.uk/IndustryArticles/introduction_to_quasi_random_numbers.pdf) 而不是标准的伪 RNG。准随机数比伪随机数更均匀地覆盖积分区域（您正在做的是 MC 积分），从而提供更好的收敛性。

【讨论】：

我天真的猜测是，虽然这会收敛得更快，但估计置信范围可能更难。你知道关于这件事的任何文献吗？
不，但是有一个 C 库 feynarts.de/cuba 实现了 MC 集成，包括置信范围（它返回一个绝对误差估计和估计错误的 Chi^2 概率）。您可以下载代码并查看实现，或通过电子邮件向作者索取他用于编写代码的文献。
啊！作者链接到有关此事的论文。发表在 Computational Physics Communications 上（在 arXiv 上，arxiv.org/abs/hep-ph/0404043）。令我痛苦的是，他和我在同一行工作，这是第一次听说。哦！
我的妻子在她的研究中广泛使用这个库。根据她的经验，对于低维，确定性方法（古巴图书馆中的常规“Cuhre”）优于 MC 积分，即使对于具有不连续性的“困难”被积函数也是如此。