一个索引在一个区间范围内出现了多少次？答案

【问题标题】：How many times an index appear on a range of intervals?一个索引在一个区间范围内出现了多少次？
【发布时间】：2014-11-10 19:42:50
【问题描述】：

我在 [1,n] 中有一个 k 个整数区间数组，其中 k ≤ 10⁵ 和 n ≤ 10⁵。例如，如果 k 为 3 且 n 为 5，则列表可能为：{[1,4]、[3,5]、[2,3]} .

对于这个区间数组的任意子数组，我希望能够计算有多少区间包含给定值。例如，在上面的示例数组中，我可能会取索引 1 到索引 2 的子数组（即 {[1,4], [3,5]}）并计算该子数组中包含的区间数值 2（只有 1：[1,4]）。此查询将表示为 3 元组 (min_index,max_index,value)，在本例中为 (1,2,2)。

我的想法是从区间数组构建一个分段树，其中每个节点都包含位于该节点上的排序区间（按其起始索引排序）。例如：根将包含所有按起始索引升序排序的区间，其左孩子将包含区间数组前半部分的排序区间，右孩子将包含后半部分的排序区间，依此类推。

所以为了解决一个查询（min_index,max_index,value），我可以遍历树，只要我在一个完全在 [min_index,max_index] 内的节点我可以对间隔进行二进制搜索并计算出现次数。在最坏的情况下，每个查询都会进行O(log^2n) 操作。

我们还能做得更好吗？有没有办法先处理数据，然后在恒定时间内回答每个查询？

【问题讨论】：

当你说l<=index<=r时，你的意思是区间数组中区间的索引是有界的吗？或者它的端点以某种方式有界？ index 和 idx 一样吗？
这是哪种编程语言？到目前为止你写过代码吗？如果这是一个普遍问题，也许您应该尝试使用Programmers 站点。
...和第一个大小为N 的数组的内容无关？您正在处理多少个查询？
@nneonneo 只是区间数组中区间的索引。换句话说，Lth 到 Rth 间隔。
Re：“有没有办法先处理数据，然后在恒定时间内回答每个查询？”：从 CS 理论的角度来看，是的：你有一个有限域，所以如果没有别的，您可以预先计算所有可能查询的答案。（当然，这需要 O(k²n) 内存，所以如果这是唯一的方法，那就不值得了！）

标签： algorithm data-structures

【解决方案1】：

您可以使用扫描线算法更轻松、更快速地离线解决它：

事件是：查询范围开始，查询范围结束。
每个区间将初始数组中的一个段加 1。
要处理第一类事件，需要获取给定位置的当前总和。

因此，您需要一个支持两种操作的数据结构：将值添加到范围和获取单个元素的值。这里有两种选择：

分段树：它给出 O((k + q) * log n) 时间复杂度。
Sqrt 分解：O(sqrt(n) * k + q)。

第二个选项为每个查询提供 O(1) 时间（不计算第一项，因为它不依赖于 q）。

【讨论】：