我有三个 X/Y 点形成抛物线。我只需要计算通过这三个点的抛物线的顶点是多少。最好是一种快速的方法，因为我必须做很多这些计算！
“Ask A Scientist”网站提供this answer：
抛物线的一般形式由以下等式给出： A * x^2 + B * x + C = y 其中 A、B 和 C 是任意实数常数。您有三对点，它们是 (x,y) 有序对。将每个点的 x 和 y 值代入抛物线方程。你会得到三个未知数的三个线性方程，三个常数。然后，您可以轻松地求解 A、B 和 C 值的三个方程组，并且您将获得与 3 个点相交的抛物线方程。顶点是一阶导数为0的地方，一点代数给出：( -B/2A , C - B^2/4A ) 为顶点。
很高兴看到在 C# 或 C++ 中执行此计算的实际代码。有人吗？
【问题讨论】：
标签： curve-fitting
感谢 David，我将您的伪代码转换为以下 C# 代码：
public static void CalcParabolaVertex(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3, out double xv, out double yv)
{
double denom = (x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3);
double A = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom;
double B = (x3*x3 * (y1 - y2) + x2*x2 * (y3 - y1) + x1*x1 * (y2 - y3)) / denom;
double C = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom;
xv = -B / (2*A);
yv = C - B*B / (4*A);
}
这就是我想要的。抛物线顶点的简单计算。稍后我会处理整数溢出。
【讨论】：
这实际上只是一个简单的线性代数问题，因此您可以进行符号计算。当您代入三个点的 x 和 y 值时，您将得到三个未知数的三个线性方程。
A x1^2 + B x1 + C = y1
A x2^2 + B x2 + C = y2
A x3^2 + B x3 + C = y3
解决这个问题的直接方法是反转矩阵
x1^2 x1 1
x2^2 x2 1
x3^2 x3 1
乘以向量
y1
y2
y3
这样做的结果是……好吧，并不是那么简单 ;-) 我在 Mathematica 中做过，下面是伪代码中的公式：
denom = (x1 - x2)(x1 - x3)(x2 - x3)
A = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom
B = (x3^2 * (y1 - y2) + x2^2 * (y3 - y1) + x1^2 * (y2 - y3)) / denom
C = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom
或者，如果您想以数值方式进行矩阵数学运算，您通常会求助于线性代数系统（例如 ATLAS，尽管我不确定它是否具有 C#/C++ 绑定）。
在任何情况下，一旦你得到A、B 和C 的值（由这些公式计算得出），你只需要将它们代入问题中给出的表达式-B / 2A 和@ 987654331@，计算顶点坐标。1
请注意，如果原始三个点的坐标使denom 成为一个非常大或非常小的数字，则直接进行计算可能会出现严重的数值错误。在这种情况下，最好稍微修改一下，以避免被分母除以它们无论如何都会抵消：
denom = (x1 - x2)(x1 - x3)(x2 - x3)
a = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2))
b = (x3^2 * (y1 - y2) + x2^2 * (y3 - y1) + x1^2 * (y2 - y3))
c = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3)
然后顶点的坐标是-b / 2a和(c - b^2 / 4a) / denom。还有许多其他情况可能会从这样的“技巧”中受益，例如A 非常大或非常小，或者C 几乎等于B^2 / 4A，因此它们的差异非常小，但我认为这些情况变化很大，最好留出完整的讨论来处理逐个案例的后续问题。
将所有这些转换为您选择的语言的代码留给读者作为练习。 （在任何使用标准中缀运算符语法的语言中，它应该是非常简单的，例如AZDean showed in C#。）
1在答案的初始版本中，我认为这很明显，但似乎有很多人喜欢明确提及它。
【讨论】：
直接代入得到以下三个方程：
A*x1^2+B*x1+C=y1
A*x2^2+B*x2+C=y2
A*x3^2+B*x3+C=y3
您可以通过注意这等效于矩阵乘积来解决这个问题：
[x1^2 x1 1] [A] [y1]
|x2^2 x2 1|*|B| = |y2|
[x3^2 x3 1] [C] [y3]
所以你可以通过反转矩阵并将逆矩阵与右侧的向量相乘得到 A、B 和 C。
我看到，虽然我一直在发布此 John Rasch 已链接到教程，该教程更深入地实际求解矩阵方程，因此您可以按照这些说明获得答案。反转一个 3x3 矩阵很容易，所以这应该不会太难。
【讨论】：
这是实现@david-z 和@AZDean 解决方案的Fortran 代码：
subroutine parabola_vertex(x1, y1, x2, y2, x3, y3, xv, yv)
real(dp), intent(in) :: x1, y1, x2, y2, x3, y3
real(dp), intent(out) :: xv, yv
real(dp) :: denom, A, B, C
denom = (x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3)
A = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom
B = (x3**2 * (y1 - y2) + x2**2 * (y3 - y1) + x1**2 * (y2 - y3)) / denom
C = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + &
x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom
xv = -B / (2*A)
yv = C - B**2 / (4*A)
end subroutine
【讨论】：
我做了类似于@piSHOCK 的回答，同样基于@AZDean 的代码。如果你需要大量运行它（或者像我一样在 Matlab 中使用它），这可能是最快的。
我的假设是x1 == -1, x2 == 0, x3 == 1。
a = y2 - ( y1 + y3) / 2 % opposite signal compared to the original definition of A
b = (y3 - y1) / 4 % half of the originally defined B
xExtr = b / a
yExtr = y2 + b * xExtr % which is equal to y2 + b*b / a
【讨论】：
def vertex(x1,x2,x3,y1,y2,y3):
'''Given three pairs of (x,y) points return the vertex of the
parabola passing through the points. Vectorized and common expression reduced.'''
#Define a sequence of sub expressions to reduce redundant flops
x0 = 1/x2
x4 = x1 - x2
x5 = 1/x4
x6 = x1**2
x7 = 1/x6
x8 = x2**2
x9 = -x7*x8 + 1
x10 = x0*x1*x5*x9
x11 = 1/x1
x12 = x3**2
x13 = x11*x12
x14 = 1/(x0*x13 - x0*x3 - x11*x3 + 1)
x15 = x14*y3
x16 = x10*x15
x17 = x0*x5
x18 = -x13 + x3
x19 = y2*(x1*x17 + x14*x18*x6*x9/(x4**2*x8))
x20 = x2*x5
x21 = x11*x20
x22 = x14*(-x12*x7 + x18*x21)
x23 = y1*(-x10*x22 - x21)
x24 = x16/2 - x19/2 - x23/2
x25 = -x17*x9 + x7
x26 = x0*x1*x14*x18*x5
x27 = 1/(-x15*x25 + y1*(x20*x7 - x22*x25 + x7) + y2*(-x17 + x25*x26))
x28 = x24*x27
return x28,x15 + x22*y1 + x24**2*x27 - x26*y2 + x28*(-x16 + x19 + x23)
【讨论】：
1./x 这样的除法而不是 1/x 以确保不会发生整数除法。
这闻起来像家庭作业。 “问一个科学家”是正确的。假设您的 3 个点是 (x1, y1)、(x2, y2) 和 (x3, y3)。然后，你得到三个线性方程：
| M11 M12 M13 | |一个 | | Z1 | | M21 M22 M23 | * |乙| = | Z2 | | M31 M32 M33 | | C | | Z3 |其中 M11 = x12，M12 = x1, M13 = 1, Z1 = y1，对于其他两行同样使用 (x2, y2) 和 (x3 , y3) 代替 (x1, y1)。
求解这个由 3 个方程组成的系统将为您提供 A、B 和 C 的解。
【讨论】：
#include <iostream>
using namespace std;
// calculate the vertex of a parabola given three points
// https://stackoverflow.com/q/717762/16582
// @AZDean implementation with given x values
void CalcParabolaVertex(int x1, int y1, int x2, int y2, int x3, int y3, double& xv, double& yv)
{
double denom = (x1 - x2) * (x1 - x3) * (x2 - x3);
double A = (x3 * (y2 - y1) + x2 * (y1 - y3) + x1 * (y3 - y2)) / denom;
double B = (x3*x3 * (y1 - y2) + x2*x2 * (y3 - y1) + x1*x1 * (y2 - y3)) / denom;
double C = (x2 * x3 * (x2 - x3) * y1 + x3 * x1 * (x3 - x1) * y2 + x1 * x2 * (x1 - x2) * y3) / denom;
xv = -B / (2*A);
yv = C - B*B / (4*A);
}
// @piSHOCK immplementation assuming regular x values ( wrong!!! )
void CalcParabolaVertex2( int y1, int y2, int y3, double& xv, double& yv)
{
double d1 = y1 - y2;
double d2 = y1 - y3;
double a = -d1 + 0.5 * d2;
double b = 2 * d1 - 0.5 * d2;
double c = -y1;
xv = -0.5 * b / a;
yv = c - 0.25 * b * b / a;
}
// corrected immplementation assuming regular x values
void CalcParabolaVertex3( int y1, int y2, int y3, double& xv, double& yv)
{
double d1 = y1 - y2;
double d2 = y1 - y3;
double a = d1 - 0.5 * d2;
double b = -2 * d1 + 0.5 * d2;
double c = y1;
xv = -0.5 * b / a;
yv = c - 0.25 * b * b / a;
}
int main() {
double xv, yv;
CalcParabolaVertex( 0, 100, 1, 500, 2, 200, xv, yv );
cout << xv <<" "<< yv << "\n";
CalcParabolaVertex2( 100, 500, 200, xv, yv );
cout << xv <<" "<< yv << "\n";
CalcParabolaVertex3( 100, 500, 200, xv, yv );
cout << xv <<" "<< yv << "\n";
return 0;
}
我为负峰值添加了几个单元测试：在https://ideone.com/WGK90S 实时运行
【讨论】：