AVL 树中的摊销时间计算

Question

我的教授在课堂上展示了以下问题，并提到答案是 O(1)，而我的完全不同，我希望得到一些帮助，知道我犯了什么错误。

问题：

计算 AVL 树中 F 方法的 摊销时间复杂度，当我们从最小节点开始并且每次调用 F 超过最后找到的成员时。

F的描述：当我们在特定的节点F时，就像从当前节点开始的中序遍历一样，一直到下一个节点，按顺序遍历下一次调用。

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我做了什么：

首先，我对 F 进行了一系列随机的 m 次调用。

我说对于第一个我们需要 O(log n) - 找到最小的节点然后对于下一个节点我们需要再次做 inorder 但继续一个步骤所以 O(log n)+1 以此类推直到我扫描 m 个元素。

这让我：

为了计算摊销时间，我们做 T(m)/m 然后我得到：

肯定不是 O(1)。

Answer 1

该算法不是从搜索任何节点开始的，而是已经传递了一个节点并将从该节点开始。例如。 F 的伪代码如下所示：

F(n):
     if n has right child
         n = right child of n

         while n has left child
             n = left child of n

         return n
     else
         prev = n
         cur = parent of n
         while prev is right child of cur and cur is not root
             prev = cur
             cur = parent of prev

         if cur is root and prev is right child of cur
             error "Reached end of traversal"
         else
             return cur

上面的代码基本上是从一个节点开始按顺序遍历树，直到到达下一个节点。

摊销运行时间：
选择任意树和m。让r_0 成为F 访问的所有节点的最低共同祖先。现在将r_(n + 1) 定义为r_n 的右子树中所有节点的最低共同祖先，F 将返回。此递归在r_u 处触底，这将是有序遍历中的m-th 节点。在某些迭代中，F 将返回任何r_n，因此r_n 的左子树中的所有节点也将由F 返回。

F 将访问的所有节点要么也由 F 返回，要么是从 r_0 到 r_u 的路径上的节点。由于r_0是r_1的祖先，r_1是r_2的祖先等等，所以从r_0到r_u的路径最多可以是右子树高。树的高度受log_phi(m + 2)的限制，所以总共最多

m + log_phi(m + 2)

在F 的m 迭代期间将访问节点。 F 访问的所有节点形成一个子树，因此算法将遍历最多 2 * (m + log_phi(m + 2)) 边，导致摊销运行时复杂度为

2 * (m + log_phi(m + 2)) / m = 2 + 2 * log_phi(m + 2) / m = O(1)

（上面的界限实际上要严格得多，但对于这里给出的计算来说完全足够了）