如何以指数形式取模

Question

问题是关于非常大数的模运算符。

例如考虑一个要计算排列总数的问题。 考虑一个 90 位数字，9 个数字（1 到 9）中的每一个都重复 10 次 所以要计算90!/(10!)^9)

在阅读了 StackOverflow 上的许多答案后，我使用了对数。

现在考虑日志值为 1923.32877864。

现在我的问题是如何显示以“m”为模的答案（即 10 ^ log10(value) ）？

这是计算可能排列数的最佳方法吗？

编辑 得到了解决方案:)

感谢 duedl0r。

按照您使用模乘逆指定的方式进行操作。谢谢 :)

Answer 1

我不确定这是否真的可能和正确，但让我总结一下我的 cmets 并扩展 Miky Dinescu 的答案。

正如米奇已经写的那样：

a × b ≣_m a_m × b_m

你可以在你的平等中使用它：

90！ / 10!^9 ≣_m x

计算每一项：

90!_m / 10!^9_m ≣_m x

然后从 10!^9_m 中找出您的 multiplicative inverse。然后乘以 90!_m.

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更新 这似乎是正确的（至少在这种情况下:)）。我检查了 wolfram：

(90!/10!^9) mod (10^9+7) = 998551163

这导致相同的结果：

90! mod (10^9+7) = 749079870
10!^9 mod (10^9+7) = 220052161

做相反的事情：

(220052161 * x) mod(10^9+7) = 1 = 23963055

然后：

(749079870*23963055) mod (10^9+7) = 998551163

没有证据，但有一些证据表明它可能有效:)

Answer 2

我认为计算排列的总数以m为模的方法是使用以下属性：

 (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m

考虑到N的排列总数为N! = 1 * 2 * 3 * .. * N，如果你需要计算N! % m，你基本上可以应用上面的性质进行模m乘法，你有：

 ((((1 * (2 % m)) % m) * (3 % m)) % m) * .. 

编辑

为了计算 90！ / (10! ^ 9) 值，您可以简化因子，然后使用乘法模 m 计算最终结果模 m。

这就是我的想法：

90！ = 10！ * (11 * 12 * .. * 20) * (21 * 22 * .. * 30) * .. * (81 * 82 * .. * 90)

然后你可以将原来的表达式改写为：

(10! * (11 * 12 * .. * 20) * (21 * 22 * .. * 30) * .. * (81 * 82 * .. * 90)) / (10!* 10! * ... * 10！）

在分子处，您有 9 个因子的乘积 - 将括号中的每个表达式视为一个因子。分母也是如此（您有 9 个因子，每个因子等于 10！）。

分母的第一个因素很容易简化。之后你还有 8 对需要简化。

因此，您可以考虑乘积的每个术语并简化分母。例如：

11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 11 * 2 * 2 * 3 * 13 * 2 * 7 * 3 * 5 * 2 * 2 * 2 * 2 * 17 * 2 * 9 * 2 * 2 * 5

分母永远是：2 * 3 * 2 * 2 * 5 * 2 * 3 * 7 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 5

简化后第二对减少为：2 * 2 * 11 * 13 * 17 * 19

同样的方法可以应用于每个后续对，您最终会得到一个简单的乘积，可以使用上面的公式以 m 为模计算。

当然，有效地实现算法来执行简化是很棘手的，所以最终必须有一个更好的方法让我现在无法理解。