了解归一化平方欧几里得距离？答案

【问题标题】：Understand normalized squared euclidean distance?了解归一化平方欧几里得距离？
【发布时间】：2017-06-05 18:04:04
【问题描述】：

我试图从Wolfram documentation 中理解归一化平方欧几里得距离公式：

1/2*Norm[(u-Mean[u])-(v-Mean[v])]^2/(Norm[u-Mean[u]]^2+Norm[v-Mean[v]]^2)

我在网上搜索了这个公式，但找不到。谁能解释一下这个公式是怎么推导出来的？

【问题讨论】：

这超出了堆栈溢出的范围。请按照社区准则发布问题。
我相信这是一个统计量度，在几何向量方面没有有意义的解释。注意它也可以写成1/2*Variance[u - v]/(Variance[u] + Variance[v])。无论如何，把它带到 stats.stackexchange.com。
这里的另一个讨论community.wolfram.com/groups/-/m/t/1114109（可能是一个更好的地方..）

标签： statistics wolfram-mathematica formula algebra euclidean-distance

【解决方案1】：

这个公式的含义如下：

长度已缩放到的两个向量之间的距离有单位范数。当向量的方向是有意义，但幅度没有。

https://stats.stackexchange.com/questions/136232/definition-of-normalized-euclidean-distance

【讨论】：

不是很满意的解释，你明白吗，能不能详细点。请注意，计算不独立于幅度。
NormalizedSquaredEuclideanDistance[{a, b, c}, {d, e, f}] =!= EuclideanDistance[Normalize[{a, b, c}], Normalize[{d, e, f}]]
@ChrisDegnen 你能给我举个例子吗？我尝试用向量 [1,2,3] 和 [3,5,10] （来自Wolfram documentation）制作一个，但我不知道我必须对向量使用哪种归一化方法。

【解决方案2】：

除了 Luca 的评论，这里是一个示例，显示“两个向量之间的距离，其中它们的长度已被缩放以具有单位范数”。它不等于归一化平方欧几里得距离。前者在下图中为蓝色。标准欧几里得距离为红色。

(* Leave this unevaluated to see symbolic expressions *)
{{a, b, c}, {d, e, f}} = {{1, 2, 3}, {3, 5, 10}};

N[EuclideanDistance[{a, b, c}, {d, e, f}]]

7.87401

Norm[{a, b, c} - {d, e, f}]

SquaredEuclideanDistance[{a, b, c}, {d, e, f}]

Norm[{a, b, c} - {d, e, f}]^2

N[NormalizedSquaredEuclideanDistance[{a, b, c}, {d, e, f}]]

0.25

(1/2 Norm[({a, b, c} - Mean[{a, b, c}]) - ({d, e, f} - Mean[{d, e, f}])]^2)/
 (Norm[{a, b, c} - Mean[{a, b, c}]]^2 + Norm[{d, e, f} - Mean[{d, e, f}]]^2)

1/2 Variance[{a, b, c} - {d, e, f}]/(Variance[{a, b, c}] + Variance[{d, e, f}])

{a2, b2, c2} = Normalize[{a, b, c}];
{d2, e2, f2} = Normalize[{d, e, f}];

N[EuclideanDistance[{a2, b2, c2}, {d2, e2, f2}]]

0.120185

Graphics3D[{Line[{{0, 0, 0}, {1, 2, 3}}], 
  Line[{{0, 0, 0}, {3, 5, 10}}],
  Red, Thick, Line[{{1, 2, 3}, {3, 5, 10}}],
  Blue, Line[{{a2, b2, c2}, {d2, e2, f2}}]},
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 AxesLabel -> Map[Style[#, Bold, 16] &, {"x", "y", "z"}],
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【讨论】：