使用中位数对数组进行排序

Question

所以让我们假设您有一个算法用于查找数组的中位数并调用此方法 X。X 基本上会在 O(n) 时间内找到数组 a（a 未排序）的中位数。我将如何设计一个 O(n log n) 时间算法来对数组 a 进行排序，使用 X 作为辅助方法。 真的无法理解中位数将帮助我对数组进行排序的事实...... ??

谢谢

Answer 1

您可以通过递归应用 X 来解决此问题。考虑以下子程序 Y：

1. 给定一个长度为n的数组作为输入，我们首先应用X方法求输入数字的中位数m，这需要时间O(n)。
2. 然后我们扫描输入数组以重新排列数组中的数字，使所有小于m 的数字都在数组的左侧，而所有大于m 的数字都在数组的右侧数组的一侧（而m 在数组的中间），注意这一步也需要时间O(n)。

因此对于长度为n 的输入数组，子程序Y 总共花费O(n) 时间。

因此，如果您将子例程 Y 递归地应用到中位数 m 左右的子数组并继续该过程，则输出将是一个排序数组，总时间由下式给出：

T(n) = O(n) + 2 * O(n/2) + 4 * O(n/4) + ... + 2^log(n) * O(n / 2^log(n)) 
     = O(n) + O(n) + O(n) + ... + O(n)     // log(n) terms in total
     = O(n log(n))

Answer 2

在快速排序中，如果枢轴是随机选择的，则对数组进行排序的最坏情况复杂度为 O(n^2)。

但也有快速排序的变体，其最坏情况的时间复杂度为 O(nlgn)。在这些变体中，枢轴元素是数组的中位数（第 n/2 个元素），或者枢轴位置是数组大小的函数，因此它可以将数组分成两部分，它们是数组大小的函数（不是常数）。