在 Matlab 中求解 DDE

Question

我正在尝试学习如何在 Matlab 上解决 DDE（延迟差异。eq），并且我正在使用一个非常有用的 (Youtube-tutorial) 来解决示例。在 3 维系统的情况下，代码如下：

tau = [1 0.5];
tf = 10;
sol = dde23(@dde,tau,@history,[0 tf]);
t = linspace(0,tf,200);
y = deval(sol,t);

figure(1)
plot(t,y)

function y = history(t)
y = [1;0;-1];
end

按照教程的dde函数是：

function dydt = dde(t,y,tau)
y1tau1 = tau(:,1);
y2tau2 = tau(:,2);
dydt = [y1tau1(1)
    y(1) - y1tau1(1) + y2tau2(2)
    y(2) - y(3)];
end

，如果我理解的话，我们有一个 3by2 矩阵，其中包含状态变量及其各自的延迟：第一列是三个状态变量中每一个的第一个延迟 tau_1，第二列是 tau_2 . 然而，这个矩阵只有 2 个非零分量，它们是 y_1 的 tau_1 延迟和 y_2 的 tau_2。 鉴于此，我认为它会是相同的（至少在这种情况下，我们只有 y_1 的一个延迟和 y_2 的一个延迟），就好像函数是：

function dydt = dde(t,y,tau)
dydt = [tau(1)
    y(1) - tau(1) + tau(2)
    y(2) - y(3)];
end 

我为他们两个都运行了脚本，结果在质量和数量上都完全不同，我不知道为什么。有人能解释一下区别吗？

Answer 1

y1tau1(1) 和 y2tau2(2) 是 tau(1,1) 和 tau(2,2)

同时

tau(1) 和 tau(2) 与 tau(1,1) 和 tau(2,1) 相同。

所以第二个是不同的，没有理由为什么两者不同，如果只是稍微有点不同，DDE 系统应该有相同的解决方案。

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由于您还有一个一般性的解释问题，因此 DDE 系统在数学上是

dy1(t)/dt = y1(t-1)
dy2(t)/dt = y1(t) - y1(t-1) + y2(t-0.5)
dy3(t)/dt = y2(t) - y3(t)

很遗憾，延迟值也被命名为tau，最好使用yd之类的其他名称，

function dydt = dde(t,y,yd)
  dydt = [ yd(1,1)
           y(1) - yd(1,1) + yd(2,2)
           y(2) - y(3) ];

end

这个yd有两列，第一列是值y(t-tau(1))=y(t-1)，第二列是y(t-tau(2))=y(t-0.5)。 DDE 函数本身不知道延迟，它只计算这些延迟的值。这些是从一个分段插值函数获得的，该函数将历史函数与迄今为止的解决方案一起延续。历史函数代替初始条件。