从源节点开始查找具有最大权重或增益的给定长度的路径答案

【问题标题】：Find path of given length with max weight or gain starting from source node从源节点开始查找具有最大权重或增益的给定长度的路径
【发布时间】：2015-05-11 16:25:20
【问题描述】：

您好，感谢您阅读本文。

给定一个由 N 个顶点和 e 个边组成的无向树以及相关的奖励点 P_e，起始顶点：s 和一个整数：M

然后我们必须找到：从 s 开始，遍历 M 条边，我们可以获得的最大点数。

一条边可以被遍历多次。

请指导我正确的方向来解决这个问题。

【问题讨论】：

标签： algorithm graph tree

【解决方案1】：

首先让我们观察一下，如果您将在最优解中多次遍历某些边，那么所有这些边将获得相同的奖励（否则越多次遍历奖励越大的边会更有利可图）。因此，在不失慷慨的情况下，我们可以说您将准确地遍历一条边多次。

其次，您将多次遍历的边将是您最佳路径中所有边中奖励最大的边。否则再次遍历奖励更大的路径会更有利可图，并且路径将不是最优的。因此，您将多次遍历的边将是您路径中的最后一条边。

所以这里有一个简单的算法：遍历树中距离起点不远于 M 的所有顶点，找到从 s 到没有边重复的每个顶点的奖励点的总和（这个数字将以唯一的方式确定，因为在树中的每一对顶点之间只有一条路径），并使用剩余的 M 条边来遍历奖励最大的边（每次我们认为这条边是我们的最后一条边）在当前路径中使用）。

您可以使用BFS 或DFS

这是一个伪代码：

ans = -INF

traverse(vertex, pathLength, pathReward, lastEdge) {
    if (visited(vertex)) // Do not visit a vertex twice
        return;
    if (pathLength > 0)
        ans = max(ans, pathReward + (M - pathLength) * lastEdge)
    if (pathLength == M) // We cannot go farther than M edges
        return;
    for (vertex, nextVertex) in edges:
        edgeReward = edgeReward(vertex, nextVertex)
        traverse(nextVertex, pathLength + 1, pathReward + edgeReward, edgeReward)
}

你会打电话给 traverse(0, 0, 0, -INF) 然后从ans 获取结果。

【讨论】：