仅将曲线拟合到几个数据点

Question

我有一个只有 5 个数据点的散点图，我想将其拟合成曲线。我已经尝试过 polyfit 和以下代码，但都无法生成具有这么少数据点的曲线

def func(x, a, b, c):
 return a * np.exp(-b * x) + c
plt.plot(xdata, ydata, ".", label="Data");
optimizedParameters, pcov = opt.curve_fit(func, xdata, ydata);
plt.plot(xdata, func(xdata, *optimizedParameters), label="fit");

附件是一个情节示例，以及我试图制作的那种曲线的示例（为糟糕的绘图道歉）。谢谢！

Answer 1

这是一个示例图形 Python 拟合器，它使用您评论中的数据，拟合 Polytrope 类型的方程。在这个例子中，不需要记录数据。此处 X 轴以十对数刻度绘制。请注意，示例代码中的数据是浮点数的形式。

import numpy, scipy, matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

xData = numpy.array([7e-09, 9e-09, 1e-08, 2e-8, 1e-6])
yData = numpy.array([790.0, 870.0, 2400.0, 2450.0, 3100.0])


def func(x, a, b, offset): # polytrope equation from zunzun.com
    return  a / numpy.power(x, b) + offset


# these are the same as the scipy defaults
initialParameters = numpy.array([1.0, 1.0, 1.0])

# curve fit the test data
fittedParameters, pcov = curve_fit(func, xData, yData, initialParameters)

modelPredictions = func(xData, *fittedParameters) 

absError = modelPredictions - yData

SE = numpy.square(absError) # squared errors
MSE = numpy.mean(SE) # mean squared errors
RMSE = numpy.sqrt(MSE) # Root Mean Squared Error, RMSE
Rsquared = 1.0 - (numpy.var(absError) / numpy.var(yData))

print('Parameters:', fittedParameters)
print('RMSE:', RMSE)
print('R-squared:', Rsquared)

print()


##########################################################
# graphics output section
def ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight):
    f = plt.figure(figsize=(graphWidth/100.0, graphHeight/100.0), dpi=100)
    axes = f.add_subplot(111)

    # first the raw data as a scatter plot
    axes.plot(xData, yData,  'D')

    # create data for the fitted equation plot
    xModel = numpy.linspace(min(xData), max(xData), 1000)
    yModel = func(xModel, *fittedParameters)

    # now the model as a line plot
    axes.plot(xModel, yModel)

    axes.set_xlabel('X Data') # X axis data label
    axes.set_ylabel('Y Data') # Y axis data label

    plt.xscale('log') # comment this out for default linear scaling


    plt.show()
    plt.close('all') # clean up after using pyplot

graphWidth = 800
graphHeight = 600
ModelAndScatterPlot(graphWidth, graphHeight)

Answer 2

之后您必须选择要适合曲线的内容。从您的绘图的外观来看，您似乎正试图将其塑造成某种对数。

这是对数回归的图片：

对数回归将遵循 y = A + B ln(x) 的形式。 这本质上是一个线性回归拟合而不是拟合 y vs. x 我们正在尝试拟合 y 与 ln(x)。

因此，您可以只取数据集中点的 x 值的自然对数，并对其执行线性回归算法。对于 y=A + B ln(x)，屈服系数为 A 和 B。

图片来源： http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingLogarithmic.html

编辑：正如 James Phillips 在他的回答中指出的那样，也可以以 y=Ax^(-B) + C 的形式对曲线进行建模，因为对于这么少的点，无法确定图形是否具有水平渐近线或一直在增长但在减速。很多曲线可能（例如 y=A* B^(-x) +C 可能是另一条曲线），但您需要选择对数据建模的依据。

Answer 3

指数函数不能很好地拟合您的数据。考虑另一个建模函数。

给定

 import numpy as np
 import scipy.optimize as opt
 import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline


x_samp = np.array([7e-09, 9e-09, 1e-08, 2e-8, 1e-6])
y_samp = np.array([790, 870, 2400, 2450, 3100])


def func(x, a, b):
    """Return a exponential result."""
    return a + b*np.log(x)


def func2(x, a, b, c):
    """Return a 'power law' result."""
    return a/np.power(x, b) + c

代码

来自@Allan Lago 的对数模型：

# REGRESSION ------------------------------------------------------------------
x_lin = np.linspace(x_samp.min(), x_samp.max(), 50)

w, _ = opt.curve_fit(func, x_samp, y_samp)     
print("Estimated Parameters", w)  

# Model
y_model = func(x_lin, *w)


# PLOT ------------------------------------------------------------------------
# Visualize data and fitted curves
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")
plt.plot(x_lin, y_model, "k--", label="Fit")
plt.xticks(np.arange(0, x_samp.max(), x_samp.max()/2))
plt.title("Least squares regression")
plt.legend(loc="upper left")

Estimated Parameters [8339.61062739  367.6992259 ]

使用@James Phillips 的“Polytrope”模型：

# REGRESSION ------------------------------------------------------------------
p0 = [1, 1, 1]
w, _ = opt.curve_fit(func2, x_samp, y_samp, p0=p0)     
print("Estimated Parameters", w)  

# Model
y_model = func2(x_lin, *w)


# PLOT ------------------------------------------------------------------------
# Visualize data and fitted curves
plt.plot(x_samp, y_samp, "ko", label="Data")
plt.plot(x_lin, y_model, "k--", label="Fit")
plt.xticks(np.arange(0, x_samp.max(), x_samp.max()/2))
plt.title("Least squares regression")
plt.legend()

Estimated Parameters [-3.49305043e-10  1.57259788e+00  3.05801283e+03]