在类 Functor 的声明中，类型变量可以是函数类型吗？答案

【问题标题】：In the declaration of class Functor, can the type variables be function types?在类 Functor 的声明中，类型变量可以是函数类型吗？
【发布时间】：2019-07-17 23:02:29
【问题描述】：

在 Haskell 中，Functor 类声明为：

class   Functor f   where
fmap    ::  (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

类型变量a 和b 可以是函数类型，还是必须是非函数类型？

如果它们可以是函数类型，那么在使fmap 能够应用于具有任意数量参数的函数方面，Functor 类是否与Applicative 类实际上相同？根据 Hutton 的 Haskell 编程 所说：

仿函数抽象了fmap 将函数映射到结构的每个元素的想法。应用程序将这个想法概括为允许 fmap 映射具有任意数量参数的函数，而不是仅限于具有单个参数的函数。

在应用中：

fmap0 ::  a   ->  f   a
fmap0 =   pure
fmap1 ::  (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b
fmap1 g   x   =   pure    g   <*> x
fmap2 ::  (a  ->  b   ->  c)  ->  f   a   ->  f   b   ->  f   c
fmap2 g   x   y   =   pure    g   <*> x   <*> y
fmap3 ::  (a  ->  b   ->  c   ->  d)  ->  f   a   ->  f   b   ->  f   c   ->  f   d
fmap3 g   x   y   z   =   pure    g   <*> x   <*> y   <*> z

Applicative 类声明为：

class Functor f   =>  Applicative f   where
pure  ::  a   ->  f   a
(<*>) ::  f   (a  ->  b)  ->  f   a   ->  f   b

谢谢。

【问题讨论】：

a 和 b 可以是函数类型。
那么应用程序能做什么而函子不能呢？查看我的更新
您对fmap1 的实现使用Applicative 方法。这表明仅仅拥有Applicative 就足以实现Functor。但是您的问题是另一种方式：仅拥有Functor 就足以实现Applicative 吗？我认为，如果您尝试另辟蹊径——尝试写下pure 和(<*>) 的实现，只在右侧使用fmap（以及纯粹的东西）——你会发现自己很快就卡住了确实。
另见：Good examples of Not-a-Functor/Functor/Applicative/Monad?
b 可以是一个函数类型这一事实就是为什么Applicative 存在：fmap (+) (Just 3) == Just (+3)。 Applicative 允许您将部分应用 + 的结果应用于另一个 Just 值。 fmap (+) (Just 3) <*> Just 5 == Just (+3) <*> Just 5 == Just 8.

标签： haskell types functor applicative

【解决方案1】：

变量a和b可以是函数类型

– 是的，当然。

难道不是Functor 类实际上与Applicative 类相同

不，绝对不是。如果你在fmap 签名的a 或b 中插入一个函数类型，你会得到类似

fmap :: ((x -> y) -> b) -> f (x -> y) -> f b

或

fmap :: (a -> p -> q) -> f a -> f (p -> q)

但至关重要的是，fmap 总是只取一个 f _ 包装值并准确地吐出一个这样的值。 Applicative 同时允许你接受任意数量的包装值，只要你给它一个函数来处理包含的值。

【讨论】：

谢谢。在我的帖子中，fmap0 和 fmap1 在类型的类别上形成内函子是否正确？ fmap0, fmap1, fmap2, ... 是什么形式？
没有。函子由对象（即类型）和态射之一（即函数）的映射形成。 fmap1 确实是函数的映射，但fmap0 是值的映射，而不是类型的映射。在Functor 类中，对象的映射是隐式的：它是类型构造函数f 本身。
stackoverflow.com/a/33442135/745903，还有stackoverflow.com/questions/21647659/…

【解决方案2】：

a 和 b 可以是函数类型。它们可以是任何类型。事实上，一个有效的Functor必须允许它们是任何类型。

要回答您的Applicative 问题，让我们试试吧。

fmap :: (a -> b -> c) -> f a -> f (b -> c)

好的，太好了！现在我可以将f a 转换为f (b -> c)。但是……然后呢？我不能将f (b -> c) 应用于参数。这不是一个函数；这是我的仿函数类型的值。要是我们有一个带有这个签名的函数就好了……

superFmap :: f (b -> c) -> f b -> f c

但这确实看起来很像

(<*>) :: f (b -> c) -> f b -> f c

它是Applicative 的成员。因此，我们需要Applicative 才能应用此次要结果。

其他答案所说的是正确的。出于类似的原因，我们也无法实现pure。但重要的是要注意，我们甚至无法获得一般的(<*>)，因为如果我们可以，那将意味着每个Functor 都是Apply，当然也不是这样。

【讨论】：

【解决方案3】：

类型变量a 和b 可以是函数类型，还是必须是非函数类型？

a 和 b 可以是 any 类型，函数类型也是如此。

例如我们可以使用：

fmap <b>(+)</b> [1,4,2,5]

这里(+) 有类型：

fmap :: Functor f => (a -> b       ) -> f a -> f b
(+)  :: Num c =>      c -> (c -> c)

所以这里b ~ c -> c 和b 因此是一个函数。

a 是一个函数的例子是：

fmap <b>($ 2)</b> [ (1+), (2*), (3-) ]

这里我们有类型：

fmap :: Functor f => (a        -> b) -> f a -> f b
($ 3)  :: Num c =>    (c -> d) -> d

所以a ~ (c -> d) 在这里，我们因此将3 应用于列表中的所有函数。

请注意，我们没有在此处添加额外的 fmap 定义（如 fmap<sub>1</sub>、fmap<sub>2</sub>、...）。只是a 可以替换为c -> d 等类型）。

如果它们可以是函数类型，那不是Functor 类实际上与Applicative 类相同吗？

不，因为例如没有说可以为给定的Functor 实现pure。例如，想象一下您创建了一个数据类型：

type Owner = String

data Owned a = Owned Owner a

那么Owned可以实现为Functor的一个实例：

instance Functor Owned where
    fmap f (Owned o x) = Owned o (f x)

但是实现pure :: a -> Owned a 是不可能的：为什么会是对象的所有者？

【讨论】：