了解选择算法

Question

我无法理解分区集合 S 中的元素数量与第 k 个最小数字之间的关系。假设我有这个伪代码：

 Select (k,S)
  if |S|=1 then return a in S
  Choose random a in S
  Let S1,S2,S3 be sets of elements in S (<,=,> to a)
  If |S1|>=k then return Select(k,S1)
  Else if |S1| + |S2| >= k then return a
  Else return Select(k-|S1|-|S2|, S3)

据我所知，为了找到第 k 个最小的元素，我选择了一个枢轴并围绕该枢轴对数字进行排序，使得所有较小的数字都在左侧，所有较大的数字都在枢轴的右侧。然后，如果我想找到第 k 个最小的数字，我将它与枢轴的位置进行比较，如果枢轴的位置大于 k，我会查看枢轴的左侧，如果枢轴的位置小于 k ，我向右看并从那里递归。

但是，在上面的伪代码中，我看不到上面与枢轴和 k 的比较发生在哪里。我的意思是，它不应该与 >= k 而不是 |S1| 进行比较>= k，因为 a 是支点？

在与 k 的比较中，集合中的元素数量如何发挥作用？

Answer 1

S1 是小于 a 的数字集合。 S2 是数字 == a 的集合。 S3 是数字 >= a 的集合。这已经包含了很多比较。

现在如果 |S1| >= k，则小于 a 的数字集合超过 k 个元素。因此最小的 k 数已经包含在 S1 中了。

如果不是这样，则它不包含在 S1 中，因此它必须在 S2 或 S3 中。

如果 |S1|+|S2| >= k，那么当然必须在 S1 或 S2 中。因为它不在 S1 中，所以它必须在 S2 中。由于 S2 = {a}，所以 k 最小的数是 a。

如果都不是这种情况，那么它必须在 S3 中。因此，搜索可以被限制在 S3。由于 S1 和 S2 中包含的数字在 S3 中缺失，并且由于它们小于 S3 中的所有数字，这意味着我们必须搜索 k-|S1|-|S2| S3 中的最小数字。