Matlab：计算中的精度损失。可以缩放变量吗？

Question

今天我在 Matlab 中遇到了一个精度问题：

Tp = a./(3600*sqrt(g)*sqrt(K).*u.*Sd*sqrt(bB))

在哪里

一个=

                  346751.503002533 

g =

                  9.81

bB =

                  2000

标准 =

      749.158805838953
      848.621203222693
       282.57250570754
      1.69002068665559
      529.068503515487

你=

     0.308500000000039
     0.291030000000031
      0.38996000000005
      0.99272999999926
     0.271120000000031

K =

 3.80976148470781e-009
 3.33620420353532e-009
 1.67593037457502e-008
 7.22952172629158e-005
 9.89028880679124e-009

显然，由于不同维度的变量的计算，我得到了计算机精度的问题：

Tp =

      48.2045906674902
      48.2045906674902
      48.2045906674902
      48.2045906674902
      48.2045906674902

不幸的是，我真的不知道如何处理这个问题。我玩弄了输出格式，但这不是问题。所以我认为它确实是内部计算精度让我受益。 但是，如果我自己计算 sqrt(K).*u 或 u.*Sd，我会得到合理的值。只有当我将所有 3 个矩阵相乘时，我才会得到相同的值，尽管它应该会有所不同。 我找到了这个线程，但我的情况略有不同，因为我没有得到任意值，但由于某种原因它们都是相同的： numerical issue when computing complementary projection

我还认为像这样缩放所有变量：Sd = Sd/max(Sd) 可能会有所帮助，但由于我需要一个非常准确且尺寸正确的结果，所以这无济于事。

即使在使用时

vpa(a./(3600*sqrt(g)*sqrt(K).*u.*Sd*sqrt(bB)))

我每次都得到相同的值，但数字更多。这是为什么呢？

我希望你能帮助我。 干杯

编辑： 这里有更多代码可以更好地理解我的问题：

Al = 2835000000; % [m^2]
Qp = 3000000; [m^3*s^-1]
% draw 100 uniformally distributed values for s & r
s = 600 + (8000-600).*rand(100,1);
r = 600 + (15000-600).*rand(100,1);

% calculate Sd & Rd
Sd = 680./s;
Rd = 680./r;
figure
subplot(2,1,1)
hist(Sd)
subplot(2,1,2)
hist(Rd)

%% calculate my numerically
% calculate sigma
sig = Sd./Rd;

% define starting parameters for numerical solution
t = -1*ones(size(sig));
u = zeros(size(sig));
f = zeros(size(sig));

% define step
st = 0.00001;

% define break criterion
br = -0.001;

% increase u incrementally by st until t <= br
for i=1:length(sig)
    while t(i)<br
        while t(i)<-0.1
            f(i) = sig(i)*u(i)/sqrt(pi); % calculate f for convenience
            ierfc = exp(-f(i)*f(i))/sqrt(pi) - f(i)*erfc(f(i)); % calculate integral  of complementary error function
            t(i) = (u(i)/sqrt(pi))*erfc(-f(i))*(1+sig(i))-ierfc
            u(i) = u(i) + st*1000
        end
        while t(i)>=-0.1&& t(i)<br
            f(i) = sig(i)*u(i)/sqrt(pi); % calculate f for convenience
            ierfc = exp(-f(i)*f(i))/sqrt(pi) - f(i)*erfc(f(i)); % calculate integral of complementary error function
            t(i) = (u(i)/sqrt(pi))*erfc(-f(i))*(1+sig(i))-ierfc
            u(i) = u(i) + st;
        end
    end
end
figure
hist(u)


%% calculate K from Qp
K = 3/2*pi*(Qp^(2/3)*bB^(1/3))./(g^(1/3)*u.^2.*Sd.^2*Al);

%% calculate Tp
% in hours!
Tp = (3/2*sqrt(6*pi)*sqrt(Al))./(3600*sqrt(g)*sqrt(K).*u.*Sd*sqrt(bB));

Answer 1

我运行了这个只使用你的向量的测试：

Sd = [                    ...
        749.158805838953  ...
        848.621203222693  ...
        282.57250570754   ...
        1.69002068665559  ...
        529.068503515487
];

u = [                     ...
        0.308500000000039 ...
        0.291030000000031 ...
        0.38996000000005  ...
        0.99272999999926  ...
        0.271120000000031 ...
];

K = [                         ...
        3.80976148470781e-009 ...
        3.33620420353532e-009 ...
        1.67593037457502e-008 ...
        7.22952172629158e-005 ...
        9.89028880679124e-009 ...
];

r = sqrt(K).*u.*Sd;
min_r = min(r);
max_r = max(r);
disp(min_r);
disp(max_r - min_r);

我得到了这个结果：

0.0143

3.2960e-17

在我看来，这看起来并没有真正的精度损失，但是您的向量是操纵的，它们将返回大致相同的值。我的意思是，当值是 10^-2 数量级时，10^-17 数量级的误差相当小，接近双精度（16 个十进制数字）的表示精度。与例如转换为/从十进制表示时的精度损失相比，双浮点精度损失应该是一个少得多的问题。所以问题是：1）您的数据源是否可靠和/或精确？ 2) 你确定三个向量的元素乘积不应该返回一个统一值向量吗？

稍后编辑

我们只显示向量相关性并忽略标量，因为它们对所有向量分量的贡献相同。我们将使用“~”来表示向量分量之间的比例。然后，根据你的公式：

K_i ~ u_i⁻² × Sd _i^-2

Tp_i ~ K_i^-1/2 × u_i^-1 × Sd_i^-1

将第一个公式代入第二个公式，得到：

Tp_i ~ (u_i⁻² × Sd_i^-2)^-1/2 × u_i^-1 × Sd_i^-1

或者，经过一些简单的代数操作：

Tp_i ~ u_i^{(-2×-1/2) sup> × Sd_i(−2×−1/2) × u_{i sub>-1 × Sdi-1}}

Tp_i ~ u_i × Sd_{i × ui^-1 × Sdi^{- 1}}

Tp_i ~ 1_i

所以，是的，您的结果向量 Tp 应该 具有相同值的所有分量；这不是事故或精度限制的结果。这是因为您计算 K 或 Tp 或两者的方式。