包含所有线交点的最小矩形

Question

我正在尝试找到一种算法，该算法将找到一组线的所有交点，并在 O(n log n) 时间内计算包含所有交点的最小矩形。到目前为止，我猜测它与对偶性和凸包有关，但我有点坚持它实际上如何帮助我解决这个问题。

如果有人对此有任何想法，请告诉我。谢谢:)

Answer 1

让我们从一个最小限制三角形中三个交点的框 B[0] 开始。

如果找不到三角形，那么我们有以下特殊情况之一，可以单独处理：

1. 所有线都是平行的。
2. 所有交叉点都在一条线上。如果除一条之外的所有线都是平行的，则可能会发生这种情况。
3. 所有线相交于一个点。

所以让我们忽略这些细节，假设可以找到一个三角形并且找到它不会给算法增加太多时间。

第 1 阶段 - 扩大框以包含每条线的一个交点：

1. 标记构成初始三角形的三条线。
2. 选择一条未标记的线，并找到与标记线的交点 P。这始终是可能的，因为至少有 3 条标记线不相互平行。
3. 扩大框以包含 P。
4. 从 2 开始重复，直到所有行都被标记，即它们在框中都至少有一个交点。

调用结果框 B[0]。

第 2 阶段 - 检测线是否在框外有交叉点：

这是关键观察：对于在盒子内相交的两条线 A 和 B，顺时针绕盒子走，我们会遇到交替的线：例如A B A B. 对于在框外相交的两条线，顺时针行走不会交替：例如A B B A. 当然也有可能是线在box边界上相交，或者是并发的，但在描述主要算法后，将作为细节处理。

1. 选择线条的方向：如果线条不水平，则将线条指向 +y 方向，并让水平线条指向 +x 方向。线作为箭头的一件事，然后箭头都被选择为尽可能多地指向，或者如果它们是水平的，则指向右侧。在这种方向下，每条线都有一个进入盒子的点（定向线指向盒子的地方，还有一个出口点。它们可能是同一个点。
2. 围绕边界顺时针穿过 EXITING 交叉点，从右上角开始，创建线路的“退出序列”。
3. 从框的右上角开始顺时针穿过 ENTERING 交叉点，创建线条的“输入序列”。
4. 如果所有交点都在盒子内部，则进入和退出序列将相互循环，B[i] 是交点的最小边界框。
5. 否则，将两个序列对齐到任意元素（通过循环旋转）。
6. 在序列中找到它们首先不同的元素。这两条线必须在框外有一个交点 P，因此通过增加 B[i] 以包含 P 来形成 B[i+1]。
7. 从 2 开始重复。

这并不完整，因为如果组线在边界上有一个共同的进入点或退出点，则进入和退出序列没有明确定义。对于具有共同进入或退出点的每组线 L，请使用稍大的框对 L 进行排序。

请注意，此算法不会发出所有的交叉点，但它确实保证（我希望）盒子包含所有交叉点。

Answer 2

在 O(n log n) 时间内？哇。我没想到这是可能的。

我在这里没有看到任何其他答案，所以这里有一个想法 - 诚然，在黑暗中开枪。你可以随心所欲。

想法：首先按方位或坡度对线条进行排序。在其他条件相同的情况下，几乎平行的线似乎很可能在边远点相交；当然，您感兴趣的是外围点。

你的凸包想法听起来应该是正确的，但考虑到凸包可能有几乎平行的边，其切线或延伸相交远离感兴趣的区域。总而言之，这听起来像是一项主要的编程工作。祝你好运。