枚举等价类

Question

我所拥有的：集合{1,...,n} 上的等价关系，作为等价对的完整列表给出(a,b)（这已经是传递的；不需要计算传递闭包）。 n 很大（比如说，最多几百万）；等效对的总数最多为O(n)（通常要少得多），并且单个等效类很小（我没有这个数字，但是说O(log n)）。

我想要的：一种单独枚举所有等价类的方法，即依次获取每个等价类的完整元素集；最多复杂度为O~(n)（在我的代码中执行的所有其他计算都是O(n log(n))，如果可能的话，我绝对不想做任何二次方的事情）。

使用union-find structure 将有助于构造传递闭包（我不需要），但我相信，这对构造等价类没有帮助。我还可以轻松地计算（比如说）每个类中的最小代表（只需扫描完整的等价关系，直到找到它），甚至及时存储它们O(n)（构建一个 1...n 的恒等向量然后扫描完全等价关系，尽可能用最小值代替）；但是，这对于枚举等价类也没有多大帮助。

这个问题是否存在经典解决方案？

Answer 1

您可以将其视为图形搜索问题。你得到了一个组成图的所有边的列表，你想找到它的连通分量。如果你有一个图的邻接列表，这可以在 O(n) 时间内使用 DFS 或 BFS 完成，因为有 n 个节点和 O(n) 总边。

幸运的是，您可以在 O(n) 时间内构建一个邻接表。在 O(n) 时间内创建一个包含 n 个列表的数组。然后，遍历边并为每个边 (a, b) 附加 b 到列表编号 a。

总的来说，这可以让您在 O(n) 时间内找到所有等价类（连接的组件）。即使关系不是传递的，这也有效。