当只知道 y 峰值的 x 值时，将曲线拟合到点答案

【问题标题】：Fit curve to points when only x-value of y-peak is known当只知道 y 峰值的 x 值时，将曲线拟合到点
【发布时间】：2014-11-06 16:30:25
【问题描述】：

我有一些奇怪的条件需要拟合曲线。我已经尝试在其他地方查找它，但我什至不确定我是否使用了正确的术语。非常感谢任何帮助。

我正在尝试将多项式曲线拟合到一组四个点。其中三点是已知的，但第四点有点棘手。我有最大 y 值的 x 值，但我不知道最大 y 值是多少。例如，假设在 (0,0)、(1,1) 和 (4,0) 处有已知点。最大 y 值在 x=3 处，因此第四点是 (3, ymax)。我如何将四阶多项式曲线拟合到这些条件？提前致谢。

【问题讨论】：

也许我错了，但您不需要n+1 数据点来拟合n-degree 多项式吗？

标签： r model curve-fitting

【解决方案1】：

实际上这是可能的，因为您要求 x=3 处的 y 值应该是最大值。因此，一个 4 次多项式有 5 个待确定的系数，您有以下等式：

y(0) = 0
y(1) = 1
y(4) = 0
dy/dx(3) = 0（x=3 处的一阶导数应为 0）
d2y/dx2(3)

因此，在 x=3 处为 d2y/dx2 选择任何负值并求解 5 个线性方程，您将得到一个 4 次多项式。注意，这种方式得到的x=3处的y值只是局部最大值，不是全局最大值。

【讨论】：

谢谢，看起来是个不错的解决方案。写完后我会发布我想出的 R 代码。谢谢！

【解决方案2】：

根据@fang 的回答填写代数（一点初等微积分、一些代数和一些线性代数）：

y = a+b*x+c*x^2+d*x^3+e*x^4

y(0) = 0 -> a=0

为其余的计算设置a=0。

y(1) = 1 -> b+c+d+e = 1
y(4) = 0 -> 4*b+16*c+64*d+256*e=0
dy/dx(3)=0 ->
    b+2*x*c+3*x^2*d+4*x^3*e=0 ->
    b+6*c+27*d+108*e=0
d2y/dx2(3)<0 = 2*c+6*d*x+12*e*x^2 < 0 
             = 2*c+18*d+108*e < 0

为最后一个表达式选择一个负值V，比如-1：

V <- -1
A <- matrix(c(1, 1, 1,  1,
              4,16,64,256,
              1, 6,27,108,
              0, 2,18,108),
            ncol=4,byrow=TRUE)
b <- c(1,0,0,V)
(p <- solve(A,b))
## [1]  2.6400000 -2.4200000  0.8933333 -0.1133333

x <- seq(-0.5,5,length=101)
m <- model.matrix(~poly(x,degree=4,raw=TRUE))
y <- m %*% c(0,p)

绘制结果：

par(las=1,bty="l")
plot(x,y,type="l")
points(c(0,1,4),c(0,1,0))
abline(v=3,lty=2)

为V 选择一个更大的量级（更负的）值将使解在 y=3 处的峰值更明显。

【讨论】：